Поспишил дошел до финала своего первого турнира ITF среди юниоров в 2005-м; победил Вашека его же земляк Грэм Кассотцки (Graeme Kassautzki). Позже Поспишил и Кассотцки вместе выиграли парный чемпионат. Вторую победу в парном разряде Вашек одержал уже с помощью Милоша Раонича (Milos Raonic).
В 2007-м Поспишил выиграл свой первый матч профессионального уровня в одиночном разряде – в первом раунде Canada F1 Futures; во втором раунде его выбил Роб Стекли (Rob Steckley). Неделей позже Поспишил проиграл в первом раунде как в одиночном, так и в парном разряде Canada F2; еще через неделю, на Canada F3, спортсмен одержал победу в парном разряде. До конца года Вашек успел принять участие еще в нескольких чемпионатах – преимущественно не особенно высокого класса; в конце года он значился на 1479-й позиции в одиночном рейтинге и 1111-й в рейтинге парном.
В ноябре 2008-го По
спишилу пришлось сразиться с куда более 'высокопоставленным' игроком, американцем Алексом Кузнецовым (Alex Kuznetsov); матч Вашек в итоге проиграл, однако сопротивление оказал довольно серьезное. Чуть позже Поспишил вышел во второй раунд Nicaragua Futures1.
2009-й Поспишил начал с поражения в последних отборочных раундах USA F1 и Mexico F1. На Mexico F2 Вашек сумел победить земляка Кирилла Синицина, однако уступил другому канадцу, Адилу Шамасдину (Adil Shamasdin).
Следом были довольно неудачные USA F4 и USA F5; Поспишил, однако, сумел все же собраться – и выйти сначала в ч
твертьфинал Canada F2, затем – в полуфинал Canada F3.
В апреле и мае Поспишил выступал довольно успешно; фактически, этот период стал чуть ли не пиком его карьеры в целом. Вашек вышел в полуфинал Canada F3, в четвертьфинал Mexiсo F3, полуфинал Mexico F4, четвертьфинал Mexico F5 и полуфинал Mexico F6. В июне он решил попробовать силы в турнире серии Challenger – в Košice Open - Steelers Cup; в одиночном разряде он проиграл во втором отборочном раунде, в парном – в первом основном. Через неделю Вашек отправился на Mamaia Challenger; там он проиграл в финале отборочных соре
внований.
Постепенно поднимаясь вверх, за год Вашек сумел существенно улучшить свое положение в рейтинге – в одиночном разряде к концу сезона он значился на 339-й строке, в парном – на 233-й.
2010-й Поспишил начал с поражений в первом раунде одиночного разряда Challenger Salinas Diario Expreso и выхода в полуфинал в разряде парном. На Honolulu Challenger он проиграл в первом отборочном; следом были отборочные соревнования далласского Challenger – их Поспишил почти было прошел, однако последний противник оказался все же сильнее. Неделю спустя Вашек довольно продуктивно выст
пил на USA F5 Futures – ему удалось пройти в финал одиночного разряда. Через некоторое время Поспишила пригласили в национальную сборную, на Кубок Дэвиса (Davis Cup); впрочем, в основной состав он включен в конечном итоге не был.
В целом 2010-й в одиночный рейтинг Вашека особых изменений не внес – он так и остался на 339-й строчке; в парном разряде, впрочем, он поднялся до 153-й строки.
В 2011-м Поспишил сумел довольно радикально улучшить ситуацию – уже 4 июля он значился на 191-й и 121-й строках в одиночном и парном разрядах соответственно; к этому моменту он успел попол
нить копилку выигранных турниров тремя парными чемпионскими званиями уровня Challenger и двумя чемпионскими титулами Futures. В 2011-м же Поспишил впервые попробовал пройти в турнир Большого Шлема (Grand Slam) – однако выбыл уже во втором раунде отборочных соревнований в Уимблдоне (Wimbledon). На US Open ему повезло больше – Вашек не только прошел квалификацию, но и вышел во второй раунд.
В 2012-м Поспишил пробовал силы на всех четырех турнирах Большого Шлема; в Австралии и Штатах его ждало поражение в отборочных играх, во Франции и Уимблдоне – в первом раунде основной сетки