Русский поэт, эссеист, переводчик и истолкователь французской поэзии XIX—XX вв. Писал на русском и французском языках.
С 1954 учился на историческом факультете МГУ.
В дни первого Московского международного фестиваля (1957) был арестован по обвинению в участии в неофициальном кружке «Союз патриотов» (т. н. «дело Льва Краснопевцева», «дело молодых историков», осужден на 8 лет заключения. Содержался в мордовских лагерях строгого режима, где познакомился со своей будущей женой, дочерью Ольги Ивинской Ириной Емельяновой, тоже отбывавшей лагерный срок.
После освобождения (28 октября 1963) вернулся в Москву, работал в Музее восточных культур (до 1968), был дружески поддержан Л. Е. Пинским, М. В. Алпатовым, Н. И. Харджиевым, с необычайной активностью включился в литературную жизнь:
Подготовил комментированное французское издание «Романа о Тристане и Изольде» (1967),
опубликовал переводы из Анри Мишо (1967) и Рене Шара (1973),
подготовил, почти целиком перевел и прокомментировал том эссеистики Поля Валери «Об искусстве» (1976, републ.1993),
переиздал со своими комментариями и статьей сборник переводов Бенедикта Лившица «От романтиков до сюрреалистов» (1970),
опубликовал первые переводы из Лотреамона, Рембо, Малларме (1980—1981), над которыми продолжал работать и позже.
В Лозанне вышел сборник его стихов «Грозовая отсрочка» (1978).
Стал членом Французского ПЕН-центра (1974).
17 февраля 1981 г. по приглашению Р.Шара, вопреки интригам советских властей и под давлением французских официальных лиц, при поддержке литературной общественности был выпущен за рубеж для лечения сына во Франции. В 1985 к нему присоединилась жена и младший сын Андрей, с 1987 К. — французский гражданин. Работал в парижском Национальном центре научных исследований (CNRS), был близок с А. Мишо, Р. Шаром, М. Бланшо, Ж. Граком, П. Сувчинским, М.Окутюрье, Ж.Дюпеном, М. Деги, Ж. Нива, Ж-К. Маркаде, К.Помяном, А.Береловичем и др. Выпустил сборники стихов «Прочь от холма» (1982), «Поименное» (1988), книга его избранных стихотворений вышла параллельно на русском и французском языках (1984). Выступал с литературными чтениями, сотрудничал с журналами «Поэзи», «Деба», газетами «Русская мысль», «Монд». Был награжден орденом литературы и искусства Франции (1985).
В напряженной, «темной» стилистической манере стихов и абсурдистской прозы В. К. традиции «витиеватой» русской словесности от Аввакума и Гоголя до А.Белого и А.Ремизова соединяются с поисками европейского модерна от Бодлера, Лотреамона, Рембо до французских сюрреалистов, П. Реверди, Р.Шара и А.Мишо. Сборник программных эссе о русской поэзии (Анненский, Белый, Хлебников, Пастернак, Цветаева, Хармс) в ее связи с европейским модерном рубежа веков и антропологическими катаклизмами ХХ столетия «Поэт в катастрофе» вышел из печати уже в постсоветской России (1994).
После смерти В. К. в России были опубликованы его избранные переводы (2001), сборник его памяти «Твой нерасшатанный мир» (2001), книга русских и французских эссе разных лет «Тайная ось» (2003) и др. Избранные франкоязычные эссе были напечатаны во Франции (2003).