Российский хоккеист. Играл на позиции центрального нападающего.
Родился в Мурманске. Играл за ярославское «Торпедо». Чемпион России 1997 года, бронзовый призёр 1998, 1999 гг. Всего в «Торпедо» 130 матчей, 44 очка (22+22). В составе молодёжной сборной России до 20 лет стал серебрянным призером чемпионата мира 1998 года и обладателем золотых наград 1999 года (капитан).
Начал карьеру в НХЛ в «Даллас Старз» в сезоне 1999—2000. Финалист Кубка Стэнли 2000 г.. 12 марта 2002 года вместе с Мартином Русинским был отправлен в «Нью-Йорк Рейнджерс» в обмен на Мэнни Малхотра и Барретта Хайстена где провёл оставшуюся часть сезона. На следующий год он сыграл лишь две игры с «Нью-Йорк Рейнджерс», большую же часть времени провёл в его фарм-клубе «Хартфорд Вулф Пэк». Всего за 138 матчей в НХЛ
, записал в актив 23 (14+9) очка.
Вице-чемпион мира 2002 года в составе национальной команды. По некоторой информации, агент Ляшенко вёл переговоры с тольяттинской «Ладой» и ярославским «Локомотивом» о продолжении карьеры в России.
7 июля 2003 года Роман Ляшенко был найден мёртвым в номере отеля в Анталье, где он отдыхал со своими матерью и сестрой, — он совершил самоубийство. Сначало он пытался перерезать вены, а затем повесился. Была найдена предсмертная записка хоккеиста, в которой Роман якобы у кого-то просит прощения и где содержалось его признание о неизлечимой болезни… Однако, врачи никаких заболеваний не обнаружили. Родные факт самоубийства не признали.
Похоронен на Леонтьевском кладбище Ярославля