Родился в имении Руффорд Фарм, неподалеку от Честерфилда (графство Дербишир), старшим из пяти детей Уильяма Брэбери Робинсона и Джейн Давенпорт. Семья преуспевала, занимаясь производством перевязочных материалов. Когда Роберту было три года, Робинсоны поселились неподалеку от Нью-Брэмптона.
Окончив честерфилдскую среднюю школу, Робинсон поступил в Фалнекскую школу – учебное заведение религиозной общины моравских братьев, расположенное между Лидсом и Брэдфордом. Робинсон оставался здесь до 1902, а затем поступил в Манчестерский университет.
Химический факультет Манчестерского университета, во главе которого стоял У.Перкин-младший, был ведущим центром научных исследований. Членом факультета тогда был Хаим Вейцман (1874–1952), будущий первый президент Израиля (1948–1952), а однокурсником Робинсона – У.Хоуорс (Нобелевский лауреат, 1937). В 1905, окончив с отличием университет, Робинсон стал работать в частной научно-исследовательской лаборатории Перкина. С 1907 изучал структуру и химические свойства бразилина – красителя, получаемого из дерева.
Робинсон возвратился в Манчестерский университет в 1906 и в 1907–1909 стал стипендиатом. В 1910 получил докторскую степень, а два года спустя, в возрасте 26 лет, стал первым профессором органической химии в Сиднейском университете в Австралии. Робинсон заведовал кафедрами органической химии в университетах Ливерпуля (1915–1920), Сент-Эндрю (1921), Манчестера (1922–1928), Университетском колледже Лондона (1928–1930) и стал преемником Перкина в Оксфордском университете.
В 1920 Робинсон работал руководителем научно-исследовательских работ фирмы «Бритиш дайстафф корпорейшн», а в 1929 стал консультантом по красителям фирмы «Империал кемикл индастриз лимитед». С 1922 Робинсон вместе с Дэвидом Дойгом Праттом начал публиковать серию работ, посвященных красителям, которые имели строение бензопирилиевых солей.
Однако основной интерес для Робинсона представляли алкалоиды. В 1925 совместно с сотрудником Дж.М.Галландом Робинсон изучил структуру морфина и тогда же синтезировал берберин. В следующем году он установил структуру неопина (бета-кодеина), а в 1935 синтезировал бикуккулин.
Поскольку приготовление гидрастина, наркотина и тропинона (тесно связанного с атропином и кокаином) не составило труда, Робинсон полагал, что подобным же образом они должны синтезироваться растениями. Его теория биогенеза алкалоидов была позднее подтверждена анализом (с помощью изотопной метки) реакций, происходящих в растениях. Таким образом, он доказал биогенетическое родство псевдострихнина и вомицина (1948). Синтезировал, а затем определил структуру многих других алкалоидов, в том числе бруцина, акуамицина и (совместно с Р.Вудвордом – Нобелевская премия, 1965) аймалина.
Стрихнином Робинсон начал заниматься еще в 1910, когда они вместе с Перкиным предложили ошибочную формулу этого вещества. В 1945 Робинсон пришел к правильной формуле стрихнина, а синтезировал его Р.Вудворд в 1954.
Вместе с женой Робинсон провел исследование цветочных пигментов антоциана (синевато-красного цвета) и антоксантина (желтого цвета). Они синтезировали многие пигменты, идентичные природным веществам, раз работали экспресс-тесты определения пигментов и опубликовали каталог пигментов цветов.
Еще одной интересной для Робинсона структурой были стероиды. В сотрудничестве со многими учеными, в том числе с Дж.У. Корнфортом (Нобелевский лауреат, 1975), Робинсон получил женский гормон эстрон и три синтетических эстрогена: стильбэстрол, гексэстрол и диенэстрол.
Внес вклад в электронную теорию органических соединений, в представления о распределении электронов и мезомерии в ароматических соединениях (1922–1926).
После начала Второй мировой войны занимался взрывчатыми веществами и защитой от химического оружия, стал одним из создателей химии антибиотиков и организаторов производства противомалярийных препаратов в Великобритании.
В 1945–1950 Робинсон – президент Лондонского королевского общества и важна его роль в налаживании научно-исследовательской работы в послевоенные годы, он способствовал активизации деятельности международных научных союзов.
В 1947 Робинсону была присуждена Нобелевская премия «за исследования биологически важных растительных продуктов, особенно алкалоидов».
Знание строения и разработка методов синтеза алкалоидов служит базой для их будущего промышленного производства.
Строение того или иного алкалоида, являющегося лекарственным средством, служит отправной точкой для поисков новых синтетических лекарственных средств. Так, синтез аналогов кокаина привел к синтезу новокаина, аналога хинина — к получению акрихина и др. Алкалоиды и лекарственные вещества, полученные в результате синтетических поисков их аналогов, составляют значительную часть современных лекарств.
Разработанные Робинсоном в процессе исследований синтетические методы и аналитические приемы обогатили арсенал химиков-органиков. Так, в 1937 он создал собственный метод синтеза карбоциклических структур, нашедший применение в практике органического синтеза, а его теоретические положения в области органической химии вошли во все современные учебники.
Вместе с Р.Вудвордом основал журнал по органической химии «Тетраэдрон», в 1957 вышел первый его номер. Журнал пользуется заслуженным авторитетом.
Коллега Робинсона по Манчестерскому университету Вейцман разработал процесс крекинга нефти, который лег в основу деятельности компании «Петрокемиклз лимитед». Робинсон был директором этой компании. В 1935 «Петро кемиклз» вошла в компанию «Шелл», где он был директором, а затем до 1975 занимал должность консультанта.
Член свыше 30 правительственных комитетов, ряд которых он возглавлял. В 1947 – делегат Великобритании на первой конференции ЮНЕСКО. В 1951 – президент Британской ассоциации содействия развитию науки и президент Общества химической промышленности (1958–1959).
Увлекался музыкой, фотографией и литературой. Заядлый садовод. Работая в Австралии, они совершал восхождения на новозеландские Альпы и до начала Второй мировой войны проводил отпуск в горах Великобритании, Норвегии, в Пиренеях и Альпах. Когда Робинсону было 80 лет, он взошел на Столовую гору в Южной Африке.
Неоднократно завоевывал титул шахматного чемпиона, был президентом Британской шахматной федерации (1950–1953). После 80 лет Робинсон ослеп, но продолжал играть в шахматы по переписке, а за два года до смерти написал (совместно с Р.Эдвардсом) книгу Искусство и наука шахмат.
За несколько лет до смерти Робинсон начал писать 2-томную автобиографию и учебник Введение в органическую химию, который был опубликован после его смерти.
Работы: A synthesis of tropinone // J.Chem Soc. 1917. V. 111; A theory of the mechanism of the phytochemical synthesis of certain alkaloids // J.Chem Soc. 1917. V. 111; An electrochemical theory of the mechanism of organic reactions // Inst. Internat. Chim. Solvay Conseil Chim. 4e Conseil. Brussels, 1932.