Одлум стал первым человеком, совершившим прыжок с Бруклинского моста (Brooklyn Bridge), но, к сожалению, это его и погубило. Он был не женат и большую часть жизни прожил с сестрой и матерью.
Роберт Одлум родился 31 августа 1851 года в Огденсберге, штат Нью-Йорк (Ogdensburg, New York), в семье Ричарда (Richard Odlum) и Кэтрин Одлум (Catherine Odlum). Его назвали в честь ирландского националиста Роберта Эммета (Robert Emmet). Он был одним из семи детей в семье, но до взрослого возраста дожили только четверо из них. Роберт был младшим братом известной активистки и борца за права женщин Шарлотты Одлум Смит (Charlotte Odlum Smith), а его старший брат Дэвид (David Odlum) добровольцем пошел в пехоту во время Гражданской войны и пропал без вести.
С детства Одлум занимался плаванием и показывал отличные результаты. После смерти отца в середине 1850-х семья долгое время переезжала из одного крупного города в другой и на какое-то время обосновалась в Сент-Луисе, штат Миссури (St. Louis, Missouri). В 1860-м они уехали на Кубу (Cuba), затем из Гаваны (Havana) вернулись в Новый Орлеан (New Orleans) в тот самый день, когда Луизиана (Louisiana) присоединилась к конфедератам, 21 марта 1861 года. Большую часть войны они прожили во враждебном окружении в Мемфисе, штат Теннесси (Memphis, Tennessee), а в 1865-м направились в Мобил, штат Алабама (Mobile, Alabama).
В 1869-1870 Роберт торговал чаем в Филадельфии (Philadelphia), а также числился кондуктором на железной дороге. Позже он переехал в Сент-Луис, где работал в журнале своей сестры Шарлотты, затем жил и работал в Чикаго, штат Иллинойс (Chicago, Illinois), а в 1878 году перебрался в Вашингтон, округ Колумбия (Washington, D.C.), где открыл школу плавания под названием 'Natatorium'. Жители Вашингтона уважительного прозвали молодого инструктора профессором. Среди его учеников было немало детей известных и уважаемых людей, и дела шли неплохо. В 1881-м Одлум добавил к школе спортивный зал.
Несмотря на успех его предприятия, весной 1881 года Одлум начал чувствовать недовольство своим положением, ему хотелось соревноваться и демонстрировать свое мастерство зрителям. И, наконец, 4 июля 1881 года Одлум прыгнул с высоты в 90 футов с деревянного моста у водопада Оккокуан (Occoquan Falls). В июне 1882-го Одлум и Пол Бойтон (Paul Boyton), тоже искусный пловец и искатель приключений, устроили прыжок Одлума с парохода с высоты 110 футов. И хотя Роберт вошел в воду под небольшим углом, он не пострадал. В конце концов, школа плавания 'Natatorium', которой не уделялось должное внимание, разорилась и была закрыта. Одлум работал инструктором по плаванию и спасателем в одном из отелей Форт-Монро (Fort Monroe), но жажда славы не давала ему жить спокойно.
19 мая 1885 года Роберт Одлум стал первым человеком, совершившим прыжок с Бруклинского моста в Нью-Йорке (New York City). Ему нужны были деньги для себя и матери, он хотел прославиться, но еще Роберту хотелось показать, что люди не погибают от того, что пролетят сколько-то десятков футов с высоты. В сотне ярдов от моста дежурила лодка с нанятым спасателем, а сам Одлум утром на всякий случай сходил в церковь. В половине шестого вечера он прыгнул с моста, дул сильный ветер, и смельчака немного развернуло в воздухе. В результате он вошел в воду под углом. Спасатель не сумел до него добраться, но Пол Бойтон доплыл до Роберта и поднял его на борт. После комплекса реанимационных мероприятий Роберт на короткое время пришел в сознание и понял, что умирает, потом у него изо рта пошла кровь. Еще через несколько минут все было кончено.
Вскрытие показало, что внутренне кровотечение началось из-за того, что селезенка, печень и почки Одлума были разорваны, а первое, третье и пятое ребра были сломаны. Также выяснилось, что он был болен туберкулезом. Похороны состоялись в Вашингтоне. Мать Одлума обвиняла в смерти сына Пола Бойтона, который, по ее словам, подстрекал Роберта сделать этот опасный прыжок, но судебного преследования не было. Сам Бойтон отрицал все обвинения Кэтрин Одлум и называл ее слова клеветой.
Позже в том же году Кэтрин написала и опубликовала биографию Роберта под названием 'The Life and Adventures of Prof. Robert Emmet Odlum, Containing an Account of his Splendid Natatorium at the National Capital'.