Советский футболист, нападающий. Мастер спорта международного класса (1980). Заслуженный мастер спорта СССР (1981).
Начал играть в группах подготовки «Торпедо» (Кутаиси) у Карло Хурцидзе (1968). При наборе в школу Рамаз никак себя не проявил, но, благодаря настойчивым просьбам отца, его взяли в школу на испытательный срок.
В 1971—1976 Шенгелия играл в «Торпедо» Кутаиси. В 1977 году его в числе других игроков «Торпедо» пригасили в тбилисское «Динамо».
Уже в 1978 году Шенгелия был признан лучшим футболистом СССР, а в 1979 дебютировал в составе сборной СССР по футболу. Однако, на Олимпиаду-80 его не взяли.
1981— самый успешный для Шенгелия год. Он, в составе тбилисского «Динамо», — победитель Кубка Кубков, вместе со сборной СССР пробился в финальную часть ЧМ-82 (выступал там во всех матчах, забил один гол шотландцам), снова признан лучшим футболистом страны. Шенгелию отличали голевое чутье и функциональная готовность.
После 1983 года карьера спортсмена пошла на спад. В сборной он больше не появлялся, а в «Динамо» ничем особенным не отличался.
В 1989 году провёл сезон за шведский ФК «Хольмсунд».
С 15 февраля 1990, с момента проведения учредительной конференции Грузинской федерации футбола, работал в её структуре.
Чемпион СССР: 1978
Обладатель Кубка СССР: 1979
Обладатель Кубка обладателей Кубков УЕФА: 1981
Лучший футболист СССР: 1978, 1981
Участник чемпионата мира 1982
Чемпион Европы среди молодежных команд 1980
За сборную СССР провел 26 матчей, забил 10 голов.
Член клуба бомбардиров им. Григория Федотова
Жена — работница детского сада. Сын Георгий — футболист.