Заслуженный ординарный проф. по кафедре церковного права Харьковского ун-та, редактор ряда право-монархических изданий, один из инициаторов создания Харьковского отдела Русского Собрания (ХОРС).
Родился в с. Акаев Темниковского у. Тамбовской губ. в семье священника. В 1858 определен в Шацкое ДУ, а оттуда перешел в Тамбовскую ДС, которую закончил досрочно. Затем поступил на историко-филологический ф-т С.-Петербургского ун-та, откуда перешел в Медико-Хирургическую академию, по выходу из которой выдержал в 1870 экзамен в Московской ДА. По окончании курса академии утвержден преподавателем всеобщей церковной истории в Тамбовской ДС (1874). С 1875 преподавал в Вифанской ДС. В 1879-1880 опубликовал книгу «Обзор философских учений», признанную Св. Синодом учебником по предмету и удостоенную полной Макариевской премии. С 1884 преподаватель истории философии и основного богословия Московской ДА. Его книга о богословских воззрениях Л. Н. Толстого явилась первым опытом подобных сочинений и была высоко оценена свт. Феофаном Затворником, К. П. Победоносцевым и др. С 1887 первый штатный проф. церковного права в Харьковском ун-те, с 1889 начал работу над капитальным трудом «Очерк православного церковного права» (первый том «Введение в церковное право» вышел в 1893 и получил высокую оценку рецензентов). Кроме церковного права читал логику, историю философии. По отзывам коллег иногда на его лекции собиралось до 800 студентов разных факультетов и даже других учебных заведений.
Остроумов стал одним из инициаторов учреждения ХОРС, и хотя из-за своей занятости нечасто посещал заседания Отдела, но, по словам проф. Я. А. Денисова, «всегда проявлял к его делам большое внимание и энергично отстаивал его интересы». В частности, в периодической печати. С марта 1903 по апр. 1906 являлся редактором «Харьковских губернских ведомостей», которым, по его же словам, «придал строго консервативный характер». С этого времени газета круто изменила свое направление. Начались угрозы и клевета со стороны представителей «освободительного движения», либеральной профессуры. Так, даже в частной переписке доктор медицины, проф. В. Я. Данилевский безапелляционно утверждал, что Остроумову «очевидно, лавры кн. Мещерского, Грингмута, Крушевана, Ярмонкина и др. не дают спать».
Остроумов был твердо убежден, что «на пути уступок нет спасения, потому что уступки неминуемо ведут ко всеобщему разложению». А потому «не на пути уступок нужно искать оздоровления общества, а, напротив, в непреклонной твердости и последовательном проведении политики, согласной с историческими и национальными началами, создавшими наше великое Русское государство». Ближайшая задача в развитии общественного самосознания, по его мнению, должна была состоять не в том, «чтобы народ превратить по образу интеллигенции, а в том, чтобы интеллигенцию претворить по образу народа». Неудивительно, что на одной из студенческих сходок 1906 студентами-революционерами было принято решение бойкотировать проф. Остроумова и они пытались срывать его лекции. Иначе к деятельности Остроумова относился Император Николай II, который «Высочайше соизволил на назначение проф. Остроумова в число членов Высочайше утвержденного для разработки и подготовки вопросов, подлежащих рассмотрению Поместного собора Всероссийской Церкви, Особого Присутствия». За время, когда Остроумов редактировал «Харьковские гу-бернские ведомости», им было опубликовано боле 230 статей и Я. А. Денисов был уверен, что за этот своеобразный сборник «будет благодарен и будущий историк нашего смутного времени, так как найдет здесь руководящие идеи для своего труда». От Русского Собрания входил и в список кандидатов в выборщики от Харькова в I Государственную Думу. До 1917 состоял (с 1914 — вне штата) заслуженным ординарным профессором по кафедре церковного права юридического ф-та Харьковского ун-та.
В период временного освобождения Харькова от большевиков (1919) его имя среди активных деятелей не встречается. В «Скорбной летописи», опубликованной в предпоследнем номере «Русского исторического журнала» (1921. № 7) сообщалось, что он умер в 1920.