Американский фигурист российского происхождения, в настоящее время представляет команду Венгрии в танцах на льду в паре с Норой Хоффман. С ней он чемпион Венгрии 2009 года.
Максим — сын известных советских фигуристов выступавших в танцах на льду в 1970-х годах Елены Гараниной и Игоря Завозина. Мама Максима является так же одним из его тренеров.
Первой партнёршей Максима Завозина была Стефани Эллис. В 2001 году он встал в пару с Морган Метьюз. С обеими этими партнёршами он пердставлял на международной арене США.
В дуэте с Метьюз он выигрывал чемпионаты США среди юниоров в 2003 и 2004 годах. На чемпионате мира среди юниоров 2004 года они были третьими, а чемпионат 2005 года выиграли. При этом, в том же 2005 году они участвовали о «взрослом» чемпионате США и стали там пятыми.
30 декабря 2005 года Максим Завозин получил американское гражданство.
На следуюший год, на национальном первенстве дуэт уже четвёртый и отправлен на чемпионат Четырёх континентов, где завоёвывает серебряные медали. После этого, они дебютируют на чемпионате мира, где становятся 16-ми.
После занятого пятого места на чемпионате США 2007 года и непопадания в сборную команду, Метьюз и Завозин 26 февраля 2007 года объявили о распаде своей пары.
После этого, Максим Завозин встал в пару с венгерской фигуристкой Норой Хоффман, предыдущий партнёр которой Аттила Элек завершил спортивную карьеру из-за травмы. Новая пара решила выступать за Венгрию. Они стали чемпионами Вегрии 2009 года, при полном отсутствии конкуренции — больше в чемпионате не участвовали танцевальные пары. На чемпионате Европы, дуэт был на восьмом месте после обязательного танца, при исполнении оригинального танца Максим упал и они оказались на 11-м месте, а от дальнейшего выступления отказались из-за вирусной инфекции у партнёра.