В 1983―1985 Шостакович ― главный дирижёр Гонконгского филармонического оркестра, в 1986―1991 ― Новоорлеанского симфонического оркестра.
С ранних лет обучался игре на фортепиано в ЦМШ при МГК имени П. И. Чайковского, затем в Московскую консерваторию в класс Якова Флиера, на вступительных экзаменах исполнял Второй фортепианный концерт своего отца. В консерватории он заинтересовался дирижированием и занимался сначала у Н. С. Рабиновича и А. В. Гаука, затем у Г. Н. Рождественского.
В 1963 он был принят на пост помощника главного дирижёра Московского филармонического оркестра, с 1966 работал с Госоркестром СССР, БСО Всесоюзного Радио (в 1974 дал с этим коллективом премьеру Пятнадцатой симфонии своего отца), в 1971―1981 руководил Симфоническим оркестром Министерства культуры СССР.
За рубежом М. Шостакович впервые выступил как дирижёр в 1968 году с Лондонским филармоническим оркестром в Королевском фестивальном зале, в 1969 провёл концертный тур по США с Госоркестром.
В 1981 эмигрировал в США вместе с сыном Дмитрием.
В 1983―1985 Шостакович ― главный дирижёр Гонконгского филармонического оркестра, в 1986―1991 ― Новоорлеанского симфонического оркестра.
С 1979 выступает как оперный дирижёр, среди его постановок ― «Нос» и «Леди Макбет Мценского уезда».
В 1994 впервые после долгого перерыва выступил в России, три года спустя вместе с семьёй вернулся в Санкт-Петербург.
Сделал ряд записей, в том числе всех симфоний своего отца (полный комплект с Пражским симфоническим оркестром, отдельные записи с другими оркестрами), его же обоих фортепианных концертов.
В 2011 году Максим Шостакович прокомментировал в газете «Известия» критику в адрес Никиты Михалкова в связи с выдвижением его фильма «Утомлённые солнцем 2: Цитадель» на премию «Оскар»:
Максим Шостакович: В те времена чудовищный механизм, который давил и уничтожал художника, был понятен. Его целью было сделать его управляемым, заставить творить в угоду власти. Теперь же нападки на Михалкова приобрели черты мести, злобы, зависти, сведения личных счетов. Сегодня фильмы Михалкова называют тем же «сумбуром».