Родился 1 Октября 1919 года в деревне Обухово, ныне Бешенковичского района Витебской области, в семье к крестьянина.
Окончив Витебский учительский институт в 1938 году, преподавал историю в Плисской неполной средней школе. С 1940 года в Красной Армии, окончил военное авиационное училище.
С 1943 года на фронтах Великой Отечественной войны. Участник освобождения Северного Кавказа, Крыма, Прибалтики.
6 Мая 1944 года звено штурмовиков под командованием К. А. Абазовского в воздушном бою у Севастополя сбило 5 вражеских истребителей, сожгло на земле 8 самолётов и 2 склада противника с боеприпасами.
К Августу 1944 года командир звена 190-го штурмового авиационного полка ( 214-я штурмовая авиационная дивизия, 15-я Воздушная армия, 2-й Прибалтийский фронт ) Лейтенант К. А. Абазовский совершил 106 боевых вылетов на штурмовку живой силы и техники противника. Лично уничтожил и подбил 11 танков, 3 самолёта на земле, много автомашин и другой боевой техники.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 Октября 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования по уничтожению живой силы и техники противника и проявленные при этом мужество и героизм Лейтенанту К. А. Абазовскому присвоено звание Героя Советского Союза.
Но не суждено было отважному лётчику получить заслуженную награду Родины. По злой иронии судьбы, 26 Октября 1944 года - в день подписания Указа о присвоении ему звания Героя, Константин Антонович погиб в воздушном бою.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени ( дважды ), Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды ( дважды ), медалями. В деревне Плиссы установлена мемориальная доска. Имя Героя носит местная школа. Был зачислен в коллектив Рижского морского речного порта.