Г.И. Мешков передал в дар Казанскому университету рукописи: «Краткие сведения о городе Пензе…», «Пенза и ее основание в 1663 году. Копии с рукописи, современной основанию города». Последняя была издана в Казани в 1890 году.
С 1825 по 1860 годы служил в Пензе: возглавлял губернскую канцелярию, был делопроизводителем в губернском комитете для принятия мер против холеры в 1847-48 годах, работал в губернском комитете ополчения во время Крымской войны.
Григорий Иванович был страстным библиофилом, собрал большую библиотеку рукописных книг и гравюр. Подарил библиотеке Казанского университета 120 томов, в 1867 году был избран его почетным членом. Занимался переводами с французского языка.
В 1861 году Г.И. Мешков совершил неоценимое для пензенцев открытие, обнаружив в Саратове «Строельную книгу города Пензы», которая и до сего дня остается важнейшим источником по изначальной истории города. Находка была опубликована в 1898 году В.Л. Борисовым.
Григорий Иванович оставил потомкам «Записки о городе Пензе», которые он завершил в 1871 году и где рассказал об основании города, постройке казенных и общественных зданий, народных бедствиях – холере, пожарах, неурожаях, а также о замечательных событиях, в том числе о пребывании в Пензе царствующих особ. Экземпляр «Записок» хранится в областном краеведческом музее. Отрывки из мемуаров были опубликованы в «Пензенских губернских ведомостях» за 1892 год, в «Сборнике пензенского губернского статистического комитета» за 1893 год, в журнале «Русская старина» в 1903 году.
Г.И. Мешков передал в дар Казанскому университету рукописи: «Краткие сведения о городе Пензе…», «Пенза и ее основание в 1663 году. Копии с рукописи, современной основанию города». Последняя была издана в Казани в 1890 году.
Григорий Иванович Мешков был кавалером орденов Святой Анны 2-й и 3-й степени и Святого Станислава 2-й степени.