Родился в семье австрийского эмигранта, врача Германа Гассера. После окончания школы поступил в Университет Висконсина. В 1910 получил степень бакалавра, в 1911 – степень магистра. В университете изучал психологию под руководством доктора Эранглера, с которым в дальнейшем плодотворно сотрудничал. После окончания университета начал работать в Медицинской школе имени Джона Хопкинса, и в 1915 получил докторскую степень.
В 1923 получил грант на обучение в Европе, где работал под руководством профессоров А.В.Хилла, В.Страуба, Л.Лапика и сэра Генри Дейла. В 1931 стал профессором психологии и главой медицинского департамента в Корнелльском университете (Нью-Йорк). С 1935 по 1953 возглавил Рокфеллеровский институт медицинских исследований, позже стал почетным членом института.
Еще в период своей работы в медицинской школе Джона Хопкинса Гассер занимался проблемами коагуляции крови, но его главный труд (совместно с профессором Эрлангером) посвящен электрофизиологии нервных окончаний. Первая научная работа посвящена процессам, происходящим в диафрагмальном нерве, позже, с появлением осциллографа, стало возможным наглядно демонстрировать различия в чувствительности нервных окончаний, в частности, то, что скорость распространения импульса прямо пропорциональна диаметру нервного волокна. Эти опыты значительно продвинули ученых в понимании механизма возникновения боли и легли в основу нового направления, нейрофизиологии.
В 1937 вышла книга Электрическая регистрация нервной деятельности (Electrical Signs of Nervous Activity), одним из авторов которой был Гассер. Он также опубликовал большое количество статей, в частности в журнале Экспериментальная медицина, с которым активно сотрудничал.
В 1944 Гассер и Эрлангер стали лауреатами Нобелевской премии «за открытия, имеющие отношение к высокодифференцированным функциям отдельных нервных волокон».
Почетный доктор университетов Пенсильвании, Рочестера, Висконсина, Колумбии, Оксфорда, Гарварда, Парижа. Вашингтона (Сент Луис) и университета Джона Хопкинса; член Национальной Академии Наук США, Ассоциации американских врачей. Награжден медалью Кобеля (Американская ассоциация физиологов, 1954).
Сочинения: A Study of the Mechanism by Which Muscular Exercise Produces Acceleration of the Heart «American Journal of Physiology» (1914); The Classification of Nerve Fibres «Ohio Journal of Sience» (1941).