Генри Джозеф родился недалеко от Олбани (шт. Нью-Йорк) в бедной семье. Работал батраком на ферме, потом был учеником в лавке. В 15 лет отправился в Олбани, два года работал в театре.
Прочитав случайно попавшую ему в руки книгу по физике, заинтересовался этой наукой и смог поступить в Академию в Олбани. Параллельно учебе работал учителем в школе, затем помощником профессора химии, демонстрировавшим опыты во время публичных лекций. По окончании Академии (1822) работал инспектором на канале Эри, затем получил место преподавателя математики и физики в Олбани. Превратив на лето один из классов в лабораторию, он приступил к экспериментам по электромагнетизму и в 1828 сконструировал мощный подковообразный электромагнит с многослойной обмоткой, способный поднять груз весом в тонну. Опыты с электромагнитами привели его к идее получения электричества с помощью магнитного поля, а позже, в 1831, к открытию явления электромагнитной индукции. Генри не подозревал, что аналогичными экспериментами занимался в это время английский физик М.Фарадей, который в феврале 1832 опубликовал результаты исследований «о вольта-электрической и магнитно-электрической индукции» в «Трудах Королевского общества». Первая статья Генри об этом же открытии появилась в печати лишь в июле того же года. Ко времени пребывания Генри в Олбани относятся еще два его важных научных достижения: открытие явления самоиндукции (он наблюдал его в 1831, но статью об этом опубликовал только в 1838) и изобретение электрического реле и электромагнитного телеграфа (в этом он опередил Морзе на 6 лет). Телеграф работал на территории Принстонского колледжа и передавал сигналы на расстояние в одну милю.
В 1832 Генри стал профессором Принстонского колледжа (ныне Принстонский университет), в 1846 – директором Смитсоновского института в Вашингтоне. К этим годам относятся его исследования взаимосвязи индуцированных токов. Он изучал зависимость взаимной индукции от расстояния между катушками, показал, что надлежащим выбором числа витков в обмотках можно повышать или понижать напряжение (по этому принципу работают современные трансформаторы). Своей последней работой в области электричества Генри опередил Герца: в 1842 он обнаружил, что железные стержни, находящиеся в подвале здания, намагничиваются от электрической искры, полученной на втором этаже. Спустя 25 лет Максвелл описал все, что открыл Генри, с помощью четырех уравнений электродинамики.
Генри входил в число первых 50 выдающихся ученых, включенных президентом Линкольном в состав Национальной Академии наук США (1863), и с 1868 до конца жизни был ее бессменным президентом. Именем ученого названа единица измерения индуктивности. Умер Генри в Вашингтоне 13 мая 1878.