Начал играть в 1914 г. в Санкт-Петербурге в команде «Унитас». Выступал за московские команды «Рускабель» (1920 - 1922), «Сахарники» (1923 - 1925), РКимА (1926 - 1930), СиМ и «Металлург» (1931 - 1936). В 1925, 1930 - 1931 годах играл за сборную Москвы; в 1932 и 1934 годах — за сборную ВЦСПС.
Выступал за московские команды «Рускабель» (1920 - 1922), «Сахарники» (1923 - 1925), РКимА (1926 - 1930), СиМ и «Металлург» (1931 - 1936). В 1925, 1930 - 1931 годах играл за сборную Москвы; в 1932 и 1934 годах — за сборную ВЦСПС.
Тренерская деятельность. С 1922 по 1936 год был преподавателем фехтования в военной академии имени М.В. Фрунзе. В 1936 (с августа) — 1939 годах работал тренером «Металлурга» Москва, в 1940 - 1944 (по май) — «Динамо» Москва. С 1944 (с июля) по 1952 год и в 1958 - 1959 годах был старшим тренером ЦДКА (ЦДСА, затем ЦСК МО), с 1952 (с сентября) по 1957 год и в 1963 - 1965 (по август) годах работал старшим тренером «Локомотива» Москва. Затем работал старшим тренером «Нефтяника» Баку — в 1961 - 1962 годах, «Пахтакора» Ташкент — в 1967 году, «Нефтяника» Фергана — в 1968 году (с августа), «Шинника» Ярославль — в 1969 (по июнь) году.
В 1952 году (с февраля по июль) был старшим тренером сборной СССР, выступившей в футбольном турнире Олимпийских игр 1952 года в Хельсинки. В 1959 году был одним из тренеров олимпийской сборной СССР.
Под руководством Аркадьева московское «Динамо» стало чемпионом страны 1940 года, а команда ЦДКА — чемпионом СССР 1946, 1947, 1948, 1950 и 1951 годов. Кроме того армейцы Москвы в 1945 и 1949 годах были вторыми, а в 1958 году — третьими призерами чемпионатов страны. Помимо этого ЦДКА—ЦДСА становилось обладателем Кубка СССР в 1945, 1948 и 1951 годах, а в 1944 году было финалистом Кубка СССР. Московский «Локомотив» в 1957 году выиграл Кубок СССР.
Всего команды под руководством Б.А. Аркадьева выиграли 10 всесоюзных турниров, а если считать и призовые места, то число побед во всесоюзных турнирах (чемпионат и розыгрыши Кубка СССР) возрастет до 14. Результат, никем не превзойденный в 50-70-е годы. Выдающийся теоретик и практик отечественного футбола. Он является автором ряда оригинальных тактических идей и теоретических проработок, способствовавших развитию отечественного футбола.
Награжден орденом «Знак Почета».
Автор книг, до сих пор не утративших своей актуальности, «Тактика футбольной игры» (Первое издание, Москва, 1948 г., четвертое издание — Москва, 1962 г.) и «Игра полузащитников» (Москва, 1956 и 1958 гг.).