Герой Советского Союза, командир подводной лодки (ПЛ) «С-33» 1-го дивизиона бригады подводных лодок Черноморского флота, капитан 1 ранга.
Родился 16 января 1909 года в селе Вахромеево ныне Икрянинского района Астраханской области. Русский. С 14-и лет плавал кочегаром на судах Волго-Каспийского пароходства.
В 1931 году окончил Бакинский морской техникум. Плавал штурманом, помощником капитана. В Военно-Морском Флоте с 1931 года.
В 1932 году окончил курсы командиров запаса Учебного отряда Морских Сил Чёрного Моря.
В 1933 году — специальные курсы командного состава. В 1936 году — отдел подготовки кадров командного состава учебного отряда подводного плавания (УОПП) имени С. М. Кирова в Ленинграде. Член ВКП(б)/КПСС с 1938 года.
Служил на Тихоокеанском флоте:
с декабря 1933 года по апрель 1935 года — командир штурманского сектора ПЛ «Щ-108»
с апреля до конца 1935 года — штурман 2-го дивизиона подводных лодок 2-й морской бригады
с марта 1936 года по август 1937 года — помощник командира ПЛ «Л-11»
с августа 1937 года по июль 1938 года — командир ПЛ «М-6», а затем до декабря 1939 года — командир ПЛ «Щ-116».
С декабря 1939 года проходил службу на Черноморском флоте, и до февраля 1940 года находился в распоряжении военного совета флота.
С февраля по июнь 1940 года исполнял должность командира.
В июне 1940 года стал командиром ПЛ "С-33", которая была принята от промышленности и вошла в состав Черноморского Флота в декабре 1940 года.
Участник обороны города-героя Севастополя и освобождения Крыма.
В 1941 -1944 годах командир "С-33" совершил 18 боевых походов на коммуникации противника, а в мае - июне 1942 года, когда его подлодка находилась в ремонте, Б.А. Алексеев в качестве обеспечивающего командира на ПЛ "С-31" совершил два похода в Севастополь, доставив в осажденный город боеприпасы и продовольствие, эвакуировал оттуда раненых и больных.
С апреля по июнь 1943 года - командир по оперативной части бригады подводных лодок без сдачи дел командира ПЛ "С-33".
В 1943 - 1944 годах подлодка "С-33" осуществляла боевую деятельность на коммуникациях противника между Севастополем и западными портами Чёрного моря, а также у побережья Крыма с целью нарушения перевозок и снабжения южной группы гитлеровских войск. В боевых походах командир ПЛ активно вёл поиск вражеских конвоев, смело и решительно атакуя их, несмотря на мощное противодействие противолодочных кораблей.
В послевоенные годы было установлено, что 20 апреля 1943 года подлодкой "С-33" под командованием Алексеева Б.А. был потоплен румынский транспорт "Сучава", водоизмещением 6876 брутто тонн.
22 сентября и 27 декабря 1943 года "С-33" потопила торпедами два транспорта противника водоизмещением 6000 тонн и 4000 тонн.
12 мая 1944 года к юго-западу от мыса Сарыч Б.А. Алексеев обнаружил вражескую быстроходную десантную баржу, находившуюся без хода, осмотрел её и потопил артиллерийским огнём, предварительно сняв с неё кормовой флаг военно-морского флота гитлеровской Германии.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками капитану 2-го ранга Алексееву Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 3812). Подводная лодка «С-33» преобразована в гвардейскую.
С июня 1944 года по февраль 1946 года - командир 1-го дивизиона 1-й бригады подводных лодок Черноморского Флота.
ИЗ БОЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ Б.А. АЛЕКСЕЕВА 1944 ГОДА:
"Все боевые походы капитан 2 ранга Алексеев провёл в большом боевом напряжении. Для достижения победы над врагом проявил большое мастерство и настойчивость, невзирая на трудные условия во время атак и сильное противодействие кораблей и самолётов охранения конвоев противника. Неоднократно после атак при преследовании подлодки врагом успешно выводил корабль из самых тяжёлых условий и оставался победителем".
13 марта 1945 года его понизили в воинском звании за катастрофу на ПЛ "ТС-2", но 18 апреля 1947 года он был восстановлен в звании капитана 2-го ранга.
С февраля до декабря 1946 года - начальник отделения подводного плавания отдела боевой подготовки штаба Черноморского Флота.
В 1949 году с отличием окончил Военно-морскую академию (ВМА) имени К.Е. Ворошилова.
16 мая 1949 года ему присвоено воинское звание "капитан 1-го ранга".
До августа 1955 года работал в должности старшего преподавателя кафедры подводных лодок в ВМА имени К.Е. Ворошилова.
C июня 1951 года - заместителем начальника этой же кафедры.
24 августа 1953 года - присвоена учёная степень "кандидат военно-морских наук".
6 марта 1954 года - учёное звание "доцент".
В августе-сентябре 1955 года - находился в распоряжении Главного штаба ВМФ, после чего был назначен старшим военным советником начальника ВМА, военным специалистом и старшим группы специалистов в ВМА Народно-освободительной армии Китая.
По возвращении , с августа 1959 года до июня 1960 года - в распоряжении Главкома ВМФ, затем до января 1961 года - член Морского научно-технического комитета ВМФ СССР, а с января 1961 года до июня 1965 года - заместитель начальника Высших специальных офицерских классов ВМФ по учебной и научной работе.
С июня 1965 года до июня 1967 года - консультант начальника Высшего военно-морского училища в Объединенной Арабской Республике. Вернувшись из Египта, до декабря 1967 года был в распоряжении Главкома ВМФ СССР.
С декабря 1967 года - в запасе.
Жил в городе-герое Ленинграде (ныне Санкт-Петербург), где скончался 25 января 1972 года, похоронен на Серафимовском кладбище.