В детстве (с шестилетнего возраста) учился играть на альтгорне. В 1967 поступил в Московскую военно-музыкальную школу, где переключился на валторну. Закончил школу в 1974.
Выпускник Государственного музыкально-педагогического института им. Гнесиных (ныне Российская академия музыки им. Гнесиных) 1981 г. Еще в студенческие годы, в 1978 г., поступил на работу в оркестр Большого театра, где проработал до 1985 в составе духового квинтета Большого театра (Bolshoy Brass Quintet). В 1985-89 работал в оркестре Московской филармонии и в Московском квартете валторн (Moscow Horn Quartet).
В 1976-78 параллельно с занятиями в Гнесинском институте учился в Московской экспериментальной студии музыкальной импровизации (ныне - Московский импровизационный колледж). Первый серьезный джазовый опыт - дуэт с басистом Михаилом Каретниковым в 1984-86 гг. В 1985 вошел в первый состав "Три О" вместе с Сергеем Летовым (саксофоны, флейты) и Аркадием Кириченко (туба, вокал), где играл до 1989.
С 1988 играет в дуэте с пианистом Михаилом Альпериным, ныне живущем в Норвегии. Альбом этого дуэта "Wave of Sorrow" был в 1989 г. выпущен легендарным западногерманским лейблом ECM. В 1997 г. Аркадий участвовал в записи еще одного альбома Михаила Альперина для ECM - North Story. В 1991 г., помимо дуэта, возникло еще одно образование - трио в составе Альперина, Шилклопера и энтузиаста русского "корневого" фольклора Сергея Старостина (вокал, кларнет, этнические инструменты). Ансамбль получил название Moscow Art Trio. Трио регулярно гастролирует, превратившись в один из самых известных в мире новоджазовых коллективов из России. Альбомы Moscow Art Trio выходят на российском лейбле Boheme Music, а также на западногерманском Jaro Records.
С 1992 г. Аркадий начал играть сольные концерты. Развитие его сольной программы привело к записи альбома "Hornology" (RDM, 1996), где он играл один. Успех альбома закономерно увеличил количество выступлений с сольной программой. В 1998 г. этот альбом был переиздан компанией Boheme Music.
В мае 2000 Аркадий выпускает на Boheme Music еще один сольный альбом - "Pilatus", где звучит не только валторна, как на "Hornology", но и остальные инструменты его арсенала.
Рецензия на "Pilatus"
С 1995 Шилклопер также участвует в работе международного состава Pago Libre. В России регулярно играет в трио с Сергеем Старостиным и санкт-петербургским контрабасистом Владимиром Волковым, с ансамблем Волкова "Волковтрио", с собственным "Акустик-квартетом" (плюс екатеринбуржцы Сергей Пронь (труба, флюгельгорн) и Игорь Паращук (кларнет, альт-саксофон, бас-кларнет) и барабанщик из Новосибирска Сергей Беличенко) и с другими музыкантами.
Играл с Лайонелом Хэмптоном, Стиви Уондером, Лью Солоффом, Элвином Джоунсом, Хэрбом Эллисом, Хоуардом Леви, Луи Склависом, Раби Абу-Халилом, Пьером Фавре, Энрико Рава, Бобом Стьюартом и др. С января 1998 г. регулярно сотрудничает с австрийским Vienna Art Orchestra.
Начиная с 1998 г., Аркадий все чаще использует в сольных концертах и выступлениях в различных проектах редчайший для импровизационной музыки инструмент - альпийский рог, став одним из лучших в мире импровизирующих исполнителей на этом инструменте. В конце 1999 г. швейцарское правительство в знако благодарности за популяризацию этого фольклорного швейцарского инструмента во всем мире на специальном вечере в швейцарском посольстве в Москве вручило ему именной "альпенхорн" - третий в его коллекции.