В 1920—1922 гг. и 1923—1924 гг. преподавал в Московской консерватории и в Институте музыкальной драмы. С 1941 года — педагог-вокалист в Большом театре.
Родился в многодетной семье ссыльного. С 1881 года пел в церковном хоре Софийского собора Тобольска. После переезда в Тюмень, Лабинский — солист хора Знаменской церкви. Окончил реальное училище, после чего становится солистом Синоидального хора. В 1899 г. окончил Петербургскую консерваторию по классу сольного пения профессоров С. Габеля и В. Самуся (класс сценического мастерства Ф. Палечека). Обладал ровным, гибким голосом приятного мягкого тембра и широкого диапазона (брал ноту фа третьей октавы). С 1896 г. пел в хоре Мариинского театра. В 1899—1912 гг. и 1919—1924 гг. — солист Мариинского театр, с 1926 г. служил в Большом театре СССР.
В 1920—1922 гг. и 1923—1924 гг. преподавал в Московской консерватории и в Институте музыкальной драмы. С 1941 года — педагог-вокалист в Большом театре. Среди учеников можно упомянуть Н. Ф. Кемарскую, В. Н. Прокошева.
Гастролировал в Японии, Франции, Германии, Италии.
Заслуженный артист РСФСР с 1924 г.
Лучшие оперные партии: Ленский, Герман, Альмавива, Фауст, Хозе, Рауль, Баян, Лыков, Садко, Радамес, Лоэнгрин, Лючиано в опере «Франческа да Римини» (Э.Направника) и другие.
Среди партнёров А. М. Лабинского можно назвать Ф. И. Шаляпина, А. В. Нежданову.
Имел необыкновенную популярность, особенно среди женской половины любителей оперного искусства-поклонницы, которых называли «лабинистками», следовали за певцом в его гастрольных поездках по России. По сообщению «Русской музыкальной газеты» от 1905 года, на камерных концертах с басом Касторским, билеты в первых рядах стоили десять рублей (по тому времени — очень большие деньги). Тот же номер газеты сообщал о трагикомическом случае, произошедшим на одном из концертов: разъярённый муж одной из «лабинисток» стрелял в Лабинского, но, к счастью промахнулся.
А. М. Лабинский был дублёром Л. В. Собинова. Композитор С. Кашеваров посвятил певцу романс «Тишина». А. М. Лабинский трагически погиб во время первой бомбардировки Москвы в августе 1941 г.