Футболу учился в детских командах клуба «Труд» в г. Реутове Московской обл., затем - в юношеской команде «Спартак» Москва. Играл за команды ЦСКА (1947 - 1952, 1954 - 1958), "Спартак" Москва (1952 - 1953). Чемпион СССР 1947, 1948, 1950, 1951, 1953 гг. Обладатель Кубка СССР 1948, 1951, 1955 гг. За сборную СССР провел 21 матч (в т. ч. 10 - за олимпийскую сборную СССР). Также за сборную СССР сыграл в 12 неофициальных матчах.
Ушел из жизни один из последних "лейтенантов", добывавших на зеленых полях Европы и мира славу армейскому и всему отечественному футболу. Но его блестящая игра, верность родному клубу навсегда останутся в нашей памяти и будут служить ярким примером для подражания многим поколениям армейцев.
Поиграв полтора сезона после расформирования ЦДСА в 1952 году за команды г. Калинина, МВО и "Спартак", Башашкин вернулся в 1954 году в возрожденный армейский клуб и выступал за него до 1958 года. Он распрощался с футбольным полем в 34-летнем возрасте, сделав самую продолжительную карьеру среди своих партнеров. Это было неудивительно, поскольку Башашкин даже для них был образцом в соблюдении режима, за время своих выступлений практически не употреблял спиртного - даже по случаю выигрыша командой чемпионского золота, которое трижды выпало на его долю в ЦДКА и однажды в "Спартаке".
Великий Борис Аркадьев, не гнушавшийся просматривать игроков окружных и даже гарнизонных команд, обнаружил воспитанника московской спартаковской школы Анатолия Башашкина на срочной службе в команде тбилисского Дома офицеров. Аркадьев сразу распознал в нем классного центрального защитника. Но у ЦДКА на этой позиции вне конкуренции был могучий Иван Кочетков, авторитетнейший игрок первых армейских чемпионских составов. И новоявленному лейтенанту пришлось на первых порах поиграть правым полузащитником.
В высоком прыжке, капитан советской команды Анатолий Башашкин
1952 год. Стадион "Динамо". Матч сборной Москвы со сборной Польши. На переднем плане, в высоком прыжке, капитан советской команды Анатолий Башашкин.
- Когда я впервые увидел знаменитого Франца Беккенбауэра, сразу вспомнил Толю Башашкина, - рассказывал цэдэковский "мотор" тех лет Валентин Николаев. - По комплекции, манере игры и поведения на поле, надежности и технике игры в обороне, скорости, игровому мышлению их, если поставить рядом, было бы не отличить друг от друга. Конечно, это касалось только оборонительных действий, атакующие рейды с завершением атак, которые блестяще практиковал Беккенбауэр, в наши времена не поощрялись. Еще Башашкин был превосходным шахматистом, не раз выходил победителем сменявших друг друга внутрикомандных турниров, за которыми с большим интересом следили все игроки.
Центральный защитник в те времена играл строго против центрфорварда соперников, звезд среди которых было пруд пруди. Но армейский стоппер управлялся и с динамовцем Сергеем Соловьевым, и с торпедовцем Александром Пономаревым, и с тбилисцем Борисом Пайчадзе, и со спартаковцем Никитой Симоняном, и с Всеволодом Бобровым после перехода того в ВВС.
15 июля 1952 года Анатолий Башашкин вывел возрожденную сборную СССР на первый матч олимпийского турнира в Хельсинки в роли капитана. А закончил Олимпиаду, как и все его партнеры по ЦДСА, разжалованным в рядовые. Выступления в сборной он завершил 5 декабря 1956 года в Мельбурне, получив вместе с другими нашими футболистами-олимпийцами золотую медаль чемпиона.
После окончания карьеры футболиста Башашкин поступил в Академию бронетанковых войск, с дипломом которой работал по воинской специальности на Украине. Выйдя в запас, не выдержал, вернулся в футбол, возглавлял ташкентский "Пахтакор", московскую "Красную Пресню", недолго работал помощником Константина Бескова в "Спартаке". Нельзя сказать, что его тренерская карьера удалась. Образцом для него оставалась армейская команда, цвета которой он защищал почти 11 лет, его боевые товарищи Григорий Федотов, Всеволод Бобров, Валентин Николаев, Алексей Гринин, их отношение к футболу, к тренировочной работе. А с новым поколением он, как ни старался, не мог найти общего языка. Когда к Анатолию Васильевичу обращались журналисты за комментариями по поводу того или иного матча, он уже через считанные минуты уходил в воспоминания на тему "да, были люди в наше время, не то, что нынешнее племя: богатыри - не вы!".
И вот не стало еще одного богатыря. Светлая ему память.