Глава следственного управления Следственного комитета при прокуратуре РФ по Москве с 2008 года. До этого с 2000 по 2007 год занимал пост заместителя прокурора Челябинской области, с 1997 по 2000 год был прокурором Центрального района Челябинска, а с 1995 по 1997 год - заместителем прокурора Тракторозаводского района Челябинска. Кандидат юридических наук, доцент Челябинского государственного университета. С 2007 года Генеральная прокуратура России добивается его отставки, обвиняя в подделке документов, которые он подал для получения звания доцента.
Анатолий Михайлович Багмет родился 7 января 1961 года в селе Заездайка Черниговской области Украинской ССР. В 1988 году он окончил Свердловский юридический университет и был назначен помощником прокурора города Навои Бухарской области Узбекской ССР. После распада Советского Союза в 1991 году Багмет переехал в Челябинск, где занимал различные прокурорские должности, с 1995 по 1997 год работал заместителем прокурора Тракторозаводского района, а затем получил должность прокурора Центрального района города. В 1999 году Багмет был награжден званием лучшего прокурора области. В 2000 году (по другим сведениям, в 2001 году) Багмет был назначен заместителем прокурора Челябинской области и получил чин советника юстиции. Он курировал следственное направление работы областной прокуратуры.
На прокурорском посту Багмет вел ряд громких дел. В частности, в 2001-2002 годах расследовал дело о коррупции в отношении депутата Государственной Думы Владимира Головлева, чей паевой инвестиционный фонд "Социальная защита населения" был элементом преступной схемы, при помощи которой Головлев с сообщниками сумел заполучить акции приватизируемых челябинских предприятий. Примечательно, что на допросе Головлев заявил, что среди вкладчиков его фонда был прокурор области Анатолий Брагин и Багмет. Следствие по делу не было завершено, поскольку в августе 2002 года Головлев был убит.
Параллельно работе в прокуратуре Багмет преподавал в Челябинском государственном университете на кафедре уголовного права и криминологии юридического факультета, специализировался на вопросах прокурорского надзора и работы Европейского Суда по правам человека.
В 2004 году в Челябинском государственном университете Багмет защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата юридических наук по теме "Правовые и организационные вопросы обеспечения органами прокуратуры конституционно-правовой ответственности органов государственной власти субъектов Российской Федерации и органов местного самоуправления". После этого он получил звание доцента ЧГУ.
Именно из-за звания доцента Багмет оказался в центре скандала три года спустя, когда его собирались перевести на должность руководителя московского управления Следственного комитета при прокуратуре России. Проверка выяснила, что Багмет получил звание доцента ЧГУ незаконно, сфальсифицировав необходимые документы о преподавательской практике, и сама процедура утверждения его в звании проходила с нарушениями. В представленных им документах значилось, что он получил преподавательский стаж в Кастанае (Казахстан), где никогда не жил. Эти обстоятельства вынудили генерального прокурора РФ Юрия Чайку подписать 10 декабря 2007 года приказ об увольнении Багмета за "нарушение присяги, совершение проступка, порочащего честь прокурорского работника". Багмет опротестовал это решение в Тверском районном суде города Москвы, и 28 февраля 2008 года суд оправдал его за отсутствием состава преступления и потребовал восстановить Багмета в должности, сославшись на то, что Казахстан в качестве места преподавательской практики Багмету в документах указали не по его вине, и что опыт преподавания он получил в Челябинске. В апреле 2008 года Багмет подал заявление о выходе на пенсию, однако уже в следующем месяце по приказу главы СКП Александра Бастрыкина занял пост руководителя следственного управления СКП по Москве. По мнению прессы, Багмету помогал в продвижении по службе его друг, заместитель директора Федеральной службы по контролю за оборотом наркотиков Владимир Каланда.
На посту главы московского управления СКП Багмет возглавлял следственные группы по делу милиционера Дениса Евсюкова, а также расследовал убийство адвоката Станислава Маркелова.
Генеральная прокуратура России оспаривала решение Тверского суда в Мосгорсуде, а затем Верховном суде РФ, причем последний в марте 2009 года отменил оправдательный приговор нижестоящих инстанций. В ответ Багмет подал кассационную жалобу в президиум Верховного суда.
18 декабря 2009 года, еще до принятия решения президиумом Верховного суда, приказом первого заместителя и исполняющего обязанности Генпрокурора РФ Александра Буксмана Багмет был отправлен в отставку с той же формулировкой, что и в 2007 году. Впрочем, глава московского управления СКП отказался подчиняться этому решению, заявив, что уволить его имеет право только Бастрыкин. 21 декабря генеральный прокурор Юрий Чайка приказ отменил, однако направил Бастрыкину просьбу отправить Багмета в отставку.
В прессе писали, что скандал вокруг Багмета явился отражением конфликта между Генеральной прокуратурой и Следственным комитетом при прокуратуре.
Багмет женат. Его супруга Лилия Андреевна Багмет с 2006 года занимает пост заместителя председателя Арбитражного суда Челябинской области.