Алексей Веселкин – потомственный артист. Его родители были эстрадными танцорами, артистами «Москонцерта». Нередко на свои выступления они брали и Алексея.
В девятом классе Алексей сыграл свою первую роль в кино. Произошло это так. Однажды в школу пришли представители съемочной группы будущего фильма Юрия Григорьева «Поле перейти» с киностудии имени М.Горького. Алексей неожиданно для всех предложил: «Возьмите меня». Ему ответили: «Приходи».
Вместе с ним снимались ребята из знаменитой московской школы 232 с театральным уклоном, где ведут занятия педагоги театральных училищ. 10 класс Алексей заканчивал уже там.
В 1983 году Алексей Веселкин окончил Театральное училище имени Щукина (курс Ю. Катина-Ярцева) и сам попросился в Центральный детский театр (сегодня Российский академический Молодежный Театр). Вскоре он уже играл практически во всех спектаклях. В 1987 году Алексей стал лауреатом смотра «Театральная весна» за исполнение роли Лёдика в спектакле «Крестики и нолики».
Одновременно Веселкин продолжил сниматься в кино. Он сыграл роли: в приключенческом фильме Владимира Грамматикова «Вера. Надежда. Любовь», школьной картине Ярослава Ланчака «Все начинается с любви», драме Вячеслава Криштофовича «Два гусара», мелодраме Александра Яновского «Егорка». А прославила актера музыкальная картина Владимира Аленикова «Нужные люди», где Веселкину досталась главная роль молодого строителя Алеши, влюбившегося в тренера по плаванию Олю (Тамара Акулова).
Однако с конца 80-х годов Алексей Веселкин снимался в кино все реже и реже. Во-первых, он был очень загружен работой в театре (и это его ничуть не огорчало, поскольку сам он считал себя актером, прежде всего, театральным). Во-вторых, Алексей окунулся в работу на телевидении.
На телевидение Алексей Веселкин впервые попал еще, будучи студентом Щукинского училища. Первоначально он вел детские передачи «Будильник», «Детский час» и «До 16 и старше». Затем Алексея пригласили в музыкальную программу «50х50». Там он проработал около десяти лет. Эта программа сделала его необыкновенно популярным.
Что интересно, многие считали фамилию Алексея псевдонимом. Нередко продюсеры, приглашая его в очередной телепроект, заявляли: «Псевдоним оставим прежним, потому что это удачно придумано». Приходилось объяснять, что фамилия у него самая что ни на есть настоящая.
Алексей Веселкин стал одним из первых ведущих программы «Магазин на диване». Он вспоминает: «Скажу сразу: никаких импортных аналогов я не смотрел. Задача была «продавить» аудиторию. Самым ломовым товаром у меня была посуда, сервиз состоял из 28 кастрюль и сковородок. И еще с десяток – в подарок. Звонков было беспредельно много, но половина из них была из серии «Уберите животное с экрана!». Сначала я даже не понял, какое животное, в кадре только я и кастрюли. Никаких собак и даже мух. Потом дошло – это же про меня! Потому что я вскакивал на стол, бил в кастрюли, орал как оглашенный. <…> Вскоре ко мне привыкли, раскупили все кастрюли, и когда я исчез с экрана на какое-то время, уехал в отпуск, люди обзвонились: «Куда подевался этот прикольный парень?»
В настоящее время Алексей Веселкин продолжает работать в театре. Он занят в спектаклях: «Лоренцаччо» (Кардинал Чибо), «Тень» (Доктор), «Маленький лорд Фаунтлерой» (Бен), «Волшебник изумрудного города» (Железный дровосек), «Forever» (Гульмундур) «Инь и Ян. Белая версия» (Эраст Фандорин), «Инь и Ян. Черная версия» (Эраст Фандорин), «Повелитель мух» (Офицер).
Продолжает Алексей работать на телевидении. Поработав ведущим детской телеигры «Царь горы», он занялся возрождением детского шоу «Зов предков».
Периодически Алексей снимается в кино. В 2002 году он сыграл роль Юрия Крупинина в сериале «Смотрящий вниз».
Алексей женат. Его жена – Татьяна Веселкина работает в том же театре – РАМТ. Сын Веселкиных - Алексей Веселкин-младший – продолжил актерскую династию. Несмотря на свои юные годы он уже успел сняться в нескольких фильмах.