Родился в 1877 году в селе Хуторе-Губаревском Роменского уезда Полтавской губернии. "Гонимый горькой крестьянской нуждой", в поисках лучшей доли в 1883 году с родителями переехал на Кавказ.
Учился в церковно-приходской школе станицы Каменнобродской, Кубанской области. По его собственным словам, в школе "никаких знаний не получил". Поэтому много занимался самообразованием.
Поскольку семья А.Г. Мягкого не смогла "устроиться" на Кавказе, в 1892 году они преселились в село Веселый Яр (Веселоярское) Локтевской волости Змеиногорского уезда Томской губернии.
А.Г. Мягкий достаточно активно участвовал в делах веселоярской крестьянской общины(сельского общества): был ее представителем (доверенным) в ряде общественных и коммерческих дел, как выборный от общины участвовал в работе землеустроительной комиссии.
Весной 1907 года был избран от Локтевской волости для участия в работе уездного избирательного собрания.
8 апреля 1907 года съездом уполномоченных от волостей Змеиногорского уезда был избран выборщиком для участия в губернском избирательном собрании, на котором 9 мая 1907 года стал депутатом второй Государственной думы от Томской губернии (55 избирательными шарами против 28 неизбирательных).
На момент избрания во вторую Государственную думу занимался исключительно земледелием и называл себя беспартийным левым.
Сразу после избрания в члены третьей Государственной думы в декабре 1907 года, А.Г. Мягкий в интервью журналисту "Сибирской жизни" так обрисовал свое понимание ключевых проблем региона и путей их решения:
введение земства в Сибири, избираемого всем взрослым населением и не находящегося под контролем чиновников;
ликвидация церковно-приходских школ с низким уровнем образования и введение обязательного "народного образования";
развитие путей сообщения в Сибири, позволяющих увеличить экспорт и конкурентоспособность, производившейся в регионе продукции ("свои товары мы отдаем дешево, а за товары европейские платим втридорога");
введение в Сибири суда присяжных;
упорядочивание переселенческой политики в Сибирь (ограничение переселения, ведущего к молоземелью крестьян в Сибири; "устройство" быта и хозяйства уже переселившихся крестьян);
введение подоходного налога, наряду с отменой некоторых статей налогов (например, на с/х машины, который приводит к удорожанию техники и лишает крестьян возможностей ее приобретения);
В III Думе, как и в Государственной думе второго созыва, входили в состав трудовой группы, состоял членом переселенческой и бюджетной комиссии, а также комиссии по местному самоуправлению.
Ежегодно в период парламенстких каникул ("летними думскими вакациями") ездил домой для личного ведения своего хозяйства и ознакомления на месте с землеустройством крестьян и нуждами края.
О его деятельности по защите интересов земледельцев Змеиногорского уезда наглядно свидетельствуют архивные документы.
В частности, сохранились письма А.Г. Мягкого, которые он направлял в администрацию Алтайского округа, например, о предоставлении крестьянам селения Шелковниковского, Змеиногорского уезда права пользования сенокосными участками в Барнаульском бору.
13 июня 1908 года он адресовал Управляющему Кабинетом Его Величества заявление, в котором, ярко обрисовав бедственное положение безземельных крестьян своего округа, просил назначить комиссию по прирезкам земли крестьянам как Веселоярска, так и поселков Николаевский и Кругленькое.
Из канцелярии Кабинета были направлены все соответствующие документы, работа началась, и в 1908 году из земель царского Кабинета в местностях под названиями "Старые шары", "Новые шары", "Лишайная", "Целина", "Дресвяная" общей площадью более 9,5 тысячи десятин веселоярцам были прирезаны новые участки.
В конце августа 1912 года А.Г. Мягкий баллотировался на волостном сходе Локтевской волости Змеиногорского уезда в уполномоченные от волости по выборам в Государственную думу IV созыва, но избран не был.
Факты, связанные с дальнейшей жизнью и деятельностью А.Г. Мягкого, а также дата и место смерти неизвестны.