Выступал за команды "Терек" Грозный (1962 - 1963), СКА Ростов-на-Дону (1964 - 1973), "Торпедо" Москва (1974 - 1976).
В сборной СССР провел 7 матчей.
Главный тренер клуба "Терек" Грозный (1981). Тренер в СКА Ростов-на-Дону (1982 - 1985). Главный тренер СКА Ростов-на-Дону (1985).
В Ростове, где Еськов провел свои лучшие футбольные годы, его до сих пор любовно зовут Лехой. В начале 60-х он пришел в СКА из грозненского "Терека", и знаменитому Виктору Маслову, в ту пору здесь работавшему, хватило одного лишь тайма в игре дублеров, чтобы тут же перевести талантливого новичка в основной состав. Еськов вошел в армейский ансамбль удивительно легко, будто всегда в нем выступал.
Было время, когда капитана ростовского СКА, игрока сборной Союза с почтением называли "советским Риверой" - в честь суперзвездного итальянского аса, почти ровесника. Еськов умел как-то по-особому укрыть корпусом мяч, хорошо смотрелся в обводке, владел коварными и меткими ударами с игры и "стандартов", знал толк в ювелирных передачах. Технарь от Бога - таких и в те времена мало было.
Леха, броский на поле, вне его пределов был жизнелюбом, личностью неповторимой и, я бы сказал, душевной. Еськова всегда окружала какая-то дивная аура - гибкий в суждениях, острый на язык, он легко становился сердцем любой компании.
С мячом Алексей Алексеевич не расставался до последних дней. С командой ветеранов исколесил полмира и весь бывший Союз, оставаясь при этом замечательным - не по годам - атлетом. И знаменитую свою технику сохранил до последних дней - как старый воин верное оружие.