Родился 24 ноября 1922 года в поселке Лунино Михайловского (ныне Железногорского) района Курской области, в семье крестьянина. Супруга — Азарова Лиана Андреевна, кандидат филологических наук, преподавала на филологическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова. В период нахождения в загранкомандировках работала в университетах Ирака и Египта. Сын — Юрий (1955 г. рожд.), работает старшим научным сотрудником в Институте мировой литературы имени А.М. Горького Российской академии наук.
В 1930—1937 годах учился в неполной средней школе, затем окончил педагогический техникум, некоторое время работал учителем в начальной школе. В октябре 1940 года призван на действительную военную службу в артиллерийскую часть, но потом, незадолго до войны, был зачислен курсантом в Мелитопольское военно-авиационное училище. Учеба в училище продолжалась более года. Из-за отсутствия авиационной техники в начале 1942 года училище было расформировано, а курсанты направлены в действующую армию под Москву. В качестве рядового участвовал в боях под Ржевом. За мужество и бесстрашие одним из первых артиллеристов награжден в конце 1942 года орденом Красной Звезды. Там, под Ржевом, был ранен. Вскоре с присвоением офицерского звания назначен на должность командира огневого взвода. Летом 1943 года принимал участие в боях на Курской дуге. В одном из боев под Белгородом заменил раненого командира батареи. За умелое руководство по отражению танковых атак, за эффективность артиллерийского огня был награжден орденом Отечественной войны I степени. Принимал участие в боях по освобождению Украины и Польши (на Сандомирском плацдарме). За эти боевые действия награжден орденом Красного Знамени.
Принимал участие в Берлинской операции. За героизм и мужество, проявленные при штурме столицы фашистской Германии А.Н. Азарову присвоено звание Героя Советского Союза.
В представлении к присвоению звания говорилось, что 20 апреля 1945 года командир артбатареи А.Н. Азаров вместе с одним огневым расчетом ворвался в занятый противником населенный пункт Кочелы, в центре которого привел в боевое положение пушку и прямой наводкой стал расстреливать немцев, чем вызвал замешательство и панику в стане противника. Воспользовавшись растерянностью немцев, он сменил огневую позицию и продолжал вести прицельный огонь, чем был нанесен значительный урон противнику. С наступлением темноты Азаров вместе с расчетом и орудием благополучно вернулся в свою часть. Несмотря на значительные трудности и риск, были эвакуированы раненые командир орудия и два бойца. Командование высоко оценило эти действия.
В ночь на 24 апреля 1945 года командование танкового корпуса приказало форсировать реку Шпрее, которая делит город Берлин на две части. Условия для форсирования были крайне неблагоприятными (под огнем противника, высокие берега реки). Несмотря на эти трудности, было принято решение немедленно переправляться на противоположный берег. Артиллеристы быстро подготовили подручные средства и под покровом темноты на военных катерах форсировали реку. Первыми под покровом темноты переправились пехотинцы мотострелкового батальона бригады. Вместе с мотострелками переправилась и батарея, которой командовал Азаров. У самого берега их встретили пулеметные и автоматные очереди. Выскочив на берег, мотострелки вступили в бой. Батарея поддерживала их огнем из пушек. Шаг за шагом они оттесняли гитлеровцев от берега. Тем временем противник перешел в контрнаступление. При отражении контратаки артиллеристы проявили высокое мужество и стойкость. С особым упорством гитлеровцы пытались прорваться к батарее. На огневые позиции наступали две роты пехоты и несколько танков. В ожесточенной схватке гитлеровцам удалось вывести из строя несколько бойцов-артиллеристов, в том числе были ранены командиры огневых взводов. Азарову пришлось перебегать от орудия к орудию и ставить задачи, а нередко самому становиться к орудию и вести огонь прямой наводкой. Бойцы батареи мужественно и умело сражались с немцами и отразили их контратаку. При этом было уничтожено около 200 гитлеровцев, два танка и несколько пулеметов. За отвагу и воинское мастерство многие артиллеристы батареи были награждены орденами и медалями, а Азарову, как сказано выше, было присвоено звание Героя Советского Союза.
Радостную весть об окончании войны А.Н. Азаров встретил в госпитале, где находился на излечении после тяжелого ранения в Берлине при форсировании Шпрее и завоевании плацдарма. В 1945 году демобилизовался.
В послевоенные годы окончил Московский юридический институт. Работал следователем в Прокуратуре СССР, сдал экзамены и был зачислен на учебу в Высшую дипломатическую школу МИД СССР. После учебы в ВДШ принят на работу в Центральный аппарат МИДа. В общей сложности проработал за границей около 20 лет. Это была ответственная и связанная с большим риском работа. С 1959 по 1982 год находился в продолжительных загранкомандировках в странах Ближнего Востока (Израиль, Ирак, Египет). За период работы в МИДе характеризовался положительно. За выполнение ответственных заданий правительства в загранкомандировках награжден двумя орденами и отмечен многими грамотами и почетными знаками. В 1992 году по состоянию здоровья вышел на пенсию.
Службе в МИДе А.Н. Азаров посвятил более 40 лет. Является советником 1-го класса департамента Ближнего Востока и Северной Африки.
Приказом Министра обороны СССР навечно зачислен почетным солдатом в списки воинской части, в составе которой сражался в боях в годы Великой Отечественной войны. В послевоенные годы неоднократно встречался с воинами мотострелкового полка, присутствовал на тактических учениях, выступал в частях и подразделениях Западной группы войск, которая дислоцировалась на территории бывшей ГДР.
А.Н. Азаров награжден орденами Ленина, Красного Знамени, тремя орденами Отечественной войны I и II степени, двумя орденами Красной Звезды, многими медалями. За участие в боях на территории Польши и освобождение польских городов награжден польскими орденами, является почетным гражданином города Варшавы. Является также почетным гражданином города Железногорска. С горняками и жителями родного города поддерживает связь.
Живет в Москве.