Первый большой успех к Грищуку пришёл в 1999 году — на мемориале Чигорина, который проводился в Санкт-Петербурге, в ноябре 1999 года. На этом турнире он занял первое место (7 очков из 9), опередив по коэффициенту Сергея Волкова. Александр Грищук был включён в сборную команду России и участвовал в командном чемпионате Европы в Батуми (Грузия), где он набрал 6 очков из 10 (+3-0=6).
Играть в шахматы Александр научился в четырёхлетнем возрасте у своего отца. Первым тренером Грищука был Михаил Годвинский, затем его наставниками были Максим Блох и Анатолий Быховский.
Шахматный талант Александра Грищука проявился рано. С юных лет он играл в различных юношеских турнирах на национальном уровне, в России, и на международном уровне.
Александр Грищук побеждал на первенствах России в возрасте до 10, до 12, до 14 и до 16 лет. На чемпионате мира среди шахматистов до 10 лет занял второе место.
В 14 лет Грищук стал мастером, а 16 лет получил звание гроссмейстера.
Уже в 1998 году Грищук участвовал в чемпионате России среди взрослых, где он набрал 5 очков из 11 и обратил на себя внимание.
Первый большой успех к Грищуку пришёл в 1999 году — на мемориале Чигорина, который проводился в Санкт-Петербурге, в ноябре 1999 года. На этом турнире он занял первое место (7 очков из 9), опередив по коэффициенту Сергея Волкова. Александр Грищук был включён в сборную команду России и участвовал в командном чемпионате Европы в Батуми (Грузия), где он набрал 6 очков из 10 (+3-0=6).
В 2000 году Грищук выиграл (совместно с Русланом Пономарёвым) турнир в Торсхавне. В 2000 году Александр Грищук принимал участие в нокаут-чемпионате мира ФИДЕ в Дели. Он дошйл до полуфинала, где проиграл Алексею Широву. Александр Грищук стал победителем Шахматной Олимпиады в Стамбуле, в составе команды России, набрав 7,5 очков из 10 (+5-0=5).
После успешной игры в нокаут-чемпионате мира ФИДЕ Александра Грищука стали приглашать в престижные турниры. В первом таком турнире, в Линаресе (2001), он разделил второе место. В 2002 году Грищук был вторым, после Евгения Бареева, на турнире в Вейк-ан-Зее и разделил первое место в Аэрофлот-опене в Москве. На турнире по быстрым шахматам в Дубае (2002) Грищук занял второе место, проиграв в финале Петеру Леко. В марте 2004 года Грищук разделил первое место с Сергеем Рублевским на турнире в Пойковском.
В 2004 году Александр Грищук принимал участие в нокаут-чемпионате мира ФИДЕ в Триполи. Он дошйл до четвертьфинала, где проиграл будущему победителю чемпионата Рустаму Касымжанову (+1-1=0, 0:2 в доп. быстрых шахматах).
В ноябре 2004 года Александр Грищук принимал участие в 57-м чемпионате России (суперфинал). Он набрал 6 очков из 10 (+3-1=6) и занял второе место после Гарри Каспарова.
В 2005 году Александр Грищук играл в Вейк-ан-Зее (7 из 13, +2-1=10, 4-7 места), в Пойковском (5,5 из 9, +3-1=5, 3-4 места). В рамках шахматного фестиваля Chess Classic в Майнце (Германия), в августе 2005 года, Грищук проиграл матч по быстрым шахматам Вишванатану Ананду (3:5, +2-4=2).
Александр Грищук очень сильно играет в блиц-шахматы. В Интернет шахматном клубе (Internet Chess Club) он достигал высших в мире рейтингов по игре в блиц.
На апрель 2008 года Александр Грищук имел 18-й рейтинг ФИДЕ — 2716. Это 4-й рейтинг среди шахматистов России.