Звание заслуженного мастера спорта СССР Александр получил в 1976 году, став чемпионом и бронзовым призёром Олимпийских игр.
Один из лучших биатлонистов нашей страны. Неоднократный чемпион мира среди юниоров, чемпион СССР в 1973 и 1975 годах, серебряный призёр чемпионата мира в гонке на 10 км. и эстафете.
Звание заслуженного мастера спорта СССР Александр получил в 1976 году, став чемпионом и бронзовым призёром Олимпийских игр.
На следующий год Елизаров прибавляет к своим наградам ещё одну золотую медаль мирового первенства, завоёвывая её в эстафетной гонке.
Александр Матвеевич в 70-е годы неоднократно становился победителем и призёром различных международных соревнований. Награждён орденом «Знак Почёта».