Академик АН УССР (1964; член-корреспондент с 1958), доктор физико-математических наук (1940). Брат известного математика Н.И. Ахиезера.
Родился в Черикове семье земского врача. В 1934 году окончил Киевский политехнический институт и начал работу в теоретическом отделе Украинского физико-технического института в Харькове (ныне — Харьковский физико-технический институт), которым в то время руководил будущий нобелевский лауреат Л.Д. Ландау (Ахиезер был третьим, кто сдал знаменитый «теорминимум»). В 1936 защитил кандидатскую диссертацию. В 1938 году, после переезда Ландау в Москву, возглавил теоретический отдел УФТИ и руководил им до 1988 года, в 1956-1959 являлся заместителем директора по науке ХФТИ. В 1940 защитил докторскую диссертацию. Во время войны УФТИ был эвакуирован в Алма-Ату. В 1944—1952 годах работал в Москве в лаборатории И.В. Курчатова над атомным проектом.
В 1936-1990 годах преподавал в Харьковском университете, в 1951-1964 — в Военной инженерной радиотехнической академии, с 1941 года — профессор. В 1940 году основал кафедру теоретической ядерной физики на физико-математическом факультете Харьковского университета и заведовал ею до 1975 года. Один из основателей физико-технического факультета университета.
А.И. Ахиезер был одним из основателей Института теоретической физики при Национальном научном центре «ХФТИ», сейчас носящего его имя. Подготовил 72 кандидата и 33 доктора наук, среди его учеников много крупных ученых, академиков Национальной академии наук Украины (В.Г. Барьяхтар, Я.Б. Файнберг, С.В. Пелетминский, А.Г. Ситенко и др.).
Работы Ахиезера посвящены самым разным разделам теоретической физики.
Квантовая электродинамика. В 1936 совместно с И.Я. Померанчуком решил задачи о рассеянии фотонов высоких энергий на фотонах и о когерентном рассеянии фотонов на ядрах, избавившись при этом от расходимостей на основе представлений о калибровочной инвариантности. В 1963 совместно с Р.В. Половиным рассчитал радиационные поправки для ряда эффектов квантовой электродинамики. В 1974-1982 совместно с Н.Ф. Шульгой и В.Ф. Болдышевым рассмотрел процессы излучения каналированных электронов и позитронов в кристаллах. В 1975-1995 совместно с Н.Ф. Шульгой разработал теорию квантово-электродинамических явлений в кристаллах.
Ядерная физика. В 1941-1947 совместно с И.Я. Померанчуком рассмотрел процессы рассеяния медленных нейтронов кристаллами, независимо от Э. Ферми предсказал возможность получения холодных нейтронов, в 1948-1949 развил теорию резонансных ядерных реакций и теорию дифракции при рассеянии заряженных частиц на ядрах (модель Ахиезера — Померанчука). Исследовал рассеяние систем, состоящих из слабо связанных частиц, на ядрах, что позволило в 1955 совместно с А.Г. Ситенко предсказать дифракционное расщепление дейтрона. В 1964 совместно с М.П. Рекало рассчитал ряд электромагнитных характеристик адронов, обобщил кварковую модель с учетом процессов электромагнетизма. Совместно с И.А. Ахиезером развил теорию рассеяния пионов в ядерной материи. Большое внимание уделял практическим вопросам: проблеме замедления нейтронов, построению линейных ускорителей и проч.
Физика плазмы. В 1949 совместно Я.Б. Файнбергом предсказал экспоненциальный рост флуктуаций в плазме под действием электронного пучка (так называемая пучковая неустойчивость плазмы). Внес вклад в развитие теории ударных волн в плазме, в 1948 совместно с Г.Я. Любарским и Р.В. Половиным установил условия эволюционности и критерии устойчивости магнитогидродинамических волн. В 1947 совместно с Л.Э. Паргамаником предсказал электронный циклотронный резонанс. В 1957 совместно с А.Г. Ситенко и И.Г. Проходой изучил рассеяние электромагнитных волн на флуктуациях плазмы.
Физика твердого тела. В 1938 заложил основы кинетической теории поглощения звука в твердых телах (механизм поглощения Ахиезера), применил ее для рассмотрения поглощения ультразвука в металлах, диэлектриках и магнитных кристаллах (1957, совместно с Г.Я. Любарским и М.И. Кагановым). В 1946 ввел концепцию магнонов (квантов спиновых волн) в ферродиэлектриках и рассмотрел их взаимодействие с фононами и между собой. Это привело к построению в 1959 теории релаксационных и кинетических процессов в магнитоупорядоченных кристаллах. На этой основе в 1956 совместно с В.Г. Баръяхтаром и С.В. Пелетминским предсказал эффект магнитоакустического резонанса, состоящего в том, что при совпадении частот и волновых векторов спиновой и звуковой волн происходит резкое усиление взаимодействия между ними. Построил теорию связанных магнитоакустических волн, изучил ряд явлений, возникающих в условиях магнитоакустического резонанса.
Медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне» (1945)
Премия АН СССР имени Л.И. Мандельштама (1949)
Орден «Знак Почета» (1954)
Орден Трудового Красного Знамени (1971, 1981)
Премия имени К.Д. Синельникова АН УССР (1978)
Заслуженный деятель науки Украины (1986)
Государственная премия УССР (1986)
Почетная грамота Президиума Верховного совета УССР
Премия имени Н.Н. Боголюбова НАН Украины (1995)
Орден Украины «За заслуги» ІІІ степени (1996)
Орден Украины «За заслуги» ІІ степени (1999)
Международная премия ИТЭФ имени И.Я. Померанчука (1998)
Премия имени А.С. Давыдова НАН Украины (2000)
Государственная премия Украины (2002, посмертно)