Окончила консерваторию с малой серебряной медалью и затем в течение года совершенствовала вокальное мастерство в Италии. Дебютировала в миланском театре Dal Verme, выступала также в Лоди, участвовала в концертах дирижёров Шарля Ламурё и Эдуара Колонна.
До 1880 года училась в закрытом монастырском пансионе Königliche Musikschule в Мюнхене сначала игре на фортепиано, позже пению. В 1883—1888 гг. в Московской консерватории у Джакомо Гальвани и Фёдора Коммиссаржевского. Во время учёбы принимала участие в концертах русского музыкального общества с произведениями и под управлением П. И. Чайковского. Окончила консерваторию с малой серебряной медалью и затем в течение года совершенствовала вокальное мастерство в Италии. Дебютировала в миланском театре Dal Verme, выступала также в Лоди, участвовала в концертах дирижёров Шарля Ламурё и Эдуара Колонна.
По возвращении в Россию при активном участии Чайковского была принята в Большой театр; пела под фамилией Скомпская. В 1889 г. дебютировала на его сцене в партиях Памины («Волшебная флейта»), Гориславы («Руслан и Людмила») и Татьяны («Евгений Онегин»). Выступала в Большом театре до 1892 г.; 17 апреля 1892 г. исполнила партию Леоноры в премьере оперы Антона Симона «Ролла». Именно Скомпской Чайковский хотел отдать заглавную партию в новой опере «Иоланта», которую собирались ставить в Петербурге (на премьере 18 декабря пела Медея Фигнер), однако она была вынуждена уволиться из-за болезни до истечения контракта и уехать лечиться во Францию.
В 1893 году Аделя Скомпская вышла замуж за графа Александра Диенгейм-Щавиньского-Брохоцкого, в 1894 году родила дочь Марию Ванду. Продолжая заниматься вокалом, брала в Париже уроки у знаменитой французской певицы Миолан-Карвальо. В Париже выступала в салонах и частных собраниях под псевдонимом ***, где её услышал композитор Массне и настоятельно советовал взять сценический псевдоним и выступать публично. Так как певица отказывалась от иностранных имен, композитор предложил псевдоним — Больска, взяв фамилию героя «Приключения Ладислава Больского» (фр. L’aventure de Ladislas Bolski; 1864) Виктора Шербюлье.
По настоянию друзей в 1896 году возобновила концертную деятельность, с огромным успехом выступив в театре «Лисео» в Барселоне в партии Офелии. Из предложенных ей после этого ангажементов Больска предпочла приглашение Директора императорских театров И. А. Всеволожского в Мариинский театр. Для ангажемента певицы царская власть разрешила временный въезд мужа Больска графа Дингейм-Щавиньского-Брохоцкого на территорию Российской империи, оставившего Польшу после восстания 1863 г.
Дебютировала в Санкт-Петербурге в партии Татьяны («Евгений Онегин» Чайковского) 22 сентября 1897 года и выступала на сцене Мариинского театра в ведущих партиях вплоть до 1918 года. Среди премьер Больской — Волхова в «Садко» (26 января 1901 г.) и Марфа в «Царской невесте» (30 октября 1901 года) Николая Римского-Корсакова, Дамаянти в «Нале и Дамаянти» Антона Аренского (9 сентября 1908 г.).
Впервые исполнила на русском языке партию Зиглинды в «Валькирии» (24 ноября 1900 года) и партию Евы «Нюрнбергских мейстерзингерах» (20 марта 1914) Рихарда Вагнера. Во время летних отпусков гастролировала в городах русской провинции: Тифлисе (антреприза П. Зурабова и М. Валентинова), Харькове, Киеве и Одессе (антреприза М. Валентинова), Таганроге, Черкасске, Екатеринославе, Кишиневе, Кисловодске, Вильно, Риге. Также каждый год выступала в Варшаве. Выступала в Париже, Лондоне (Ковент-Гарден). На протяжении многих лет брала уроки пения у Бертрами в Париже, где постоянно проживала.
В 1918 году контракт Больской с Мариинским театром был досрочно разорван. Певица выступала эпизодически в концертных программах. С 1918 г. итальянская подданная. С 1920 по 1922 год была профессором вокального класса в Петроградский консерватории. В 1923 году уехала в Варшаву, где также преподавала в консерватории. Скончалась в Таллине, похоронена в Варшаве на кладбище Повонзки.
Больска была попечительницей в благотворительном обществе при римско-католическом Храме св. Екатерины в Петербурге. Часто участвовала в благотворительных концертах. В 1901 г., отвечая на вопрос императора Николая II, как он может отблагодарить её за талантливое пение, Больска испросила разрешение на установку памятника Фредерику Шопену в Варшаве — до этого все попытки установить памятник великому композитору были безуспешны; к концу того же года певица вместе с мужем составила комитет по сооружению памятнику, утверждённый варшавским генерал-губернатором. Больска помогала собирать деньги на памятник, в том числе сборами от своих выступлений, организовывала концерты в Петербурге, Варшаве, Лондоне, средства от которых шли в фонд комитета. В 1926 г. памятник Шопену (архитектор Вацлав Шимановский) был установлен в Варшаве в парке Лазенки.