За свою карьеру выиграл пять матчей в одиночном разряде на уровне АТП (Ассоциации теннисистов-профессионалов). На теннисном турнире French Opens (Открытый чемпионат Франции) в 2006-м, 2007-м и 2009-м он проиграл во втором круге Ллейтону Хьюитту, Яркко Ниеминену и Радеку Штепанеку.
Матье Монкур родился 4-го марта 1985-го года в Париже, Франция.
Сыграв в нескольких 'фьючерс' турнирах в 2002-м году, Монкур выиграл только матч в парном разряде вместе с Жаном-Батистом Робином. Он никогда не принимал участие в соревнованиях, выходящих за рамки Международной теннисной федерации (ITF). С течением времени игра Матье во 'фьючерс' турнирах улучшилась – один из полуфиналов он закончил со счетом 3:6.
В одиночном разряде Монкур заработал титул Серии ITF Фьючерс в начале 2004-го года в Испании, когда одержал победу в финале над Андреем Голубевым. Однако по общим результатам
Матье вошел только в список '500 лучших теннисистов', разместившись на 407 месте. Он проиграл в финале одного 'фьючерс' турнира и одного 'челленджера' позднее в этом же году.
В парном разряде француз сыграл свой первый полуфинал вместе с Жаном-Батистом Робином, проиграв иранской паре, Бенедикту Доршу и Марко Ньюнтайблу. Также Монкур проиграл в четвертьфинале другого турнира в Иране, где выступил в финале 'челленджера' вместе с Людвигом Пеллереном, уступив победу Хуану-Игнасио Керде и Джасперу Смиту в зрелищных сетах.
В 2005-м году Матье оказался на парном финале Фьючерса. Вместе с Жа
ном-Батистом Робином он проиграл Лесли Джозефу и Евгению Королеву. Однако в одиночном разряде Монкур прошел в два финала 'фьючерса', победив Тобиаса Клеменса в финальной игре, а также вышел в полуфинал двух 'челленджеров', в последнем из которых играл на острове Реюньон.
После того, как французский теннисист выиграл полуфинал 'фьючерс' турнира в 2006-м, он сыграл в своем первом престижном матче, попав на Открытый чемпионат Франции. Сначала Монкур победил Маркоса Даниэля, а затем проиграл бывшей первой ракетке мира, австралийскому теннисисту Ллейтону Глинну Хьюитту со счетом 5:7, 3:6, 3:
6. Матье вышел в финал 'фьючерс' турнира в Корденонсе. В парном разряде вместе с Грегори Карра он обыграл Томаша Беднарека и Франка Мозера в финале 'челленджера' в Ренне.
В начале 2007-го Монкур появился на 'челленджере' как одиночник, выиграв Рика де Феста из ЮАР. На Международном теннисном турнире в Австрии Матье одержал победу над белорусом Максом Мирным. На теннисном турнире 'Ролан Гаррос' француз уступил победу Яркко Ниеминену во втором круге. В паре с Грегори Карра он проиграл турнир 'Большого шлема'. После 'Ролан Гаррос' Монкур ни разу не выигрывал матч в одиночном разряде, в том
числе проиграл в первом круге четырех 'челленджеров' и на Международном теннисном турнире. Однако в паре с Эдуардом Роже-Васселином теннисист выиграл матч в Умаге, Хорватия, оставив в проигрыше Марко и Новака Джоковича; в следующем раунде Матье вновь потерпел поражение.
Француз был оштрафован на 12 тысяч долларов в 2008-м году и отстранен от игр АТП сначала на восемь недель, но впоследствии срок урезали до шести. Выяснилось, что в 2005-м году он делал ставки на теннисные матчи между июнем и сентябрем. Однако он никогда не ставил на самого себя, да и величина ставки никогда не превышала
трех долларов.
Матье Монкур умер 6-го июля 2009-го года. Он был найден мертвым возле своего дома в Булонь-Бийанкуре, Франция, его девушкой. 9-го июля, после вскрытия, полиция сообщила предварительную причину смерти: остановка сердца.
5-го ноября 2009-го года корт #3 Национального тренировочного центра на стадионе 'Ролан Гаррос', где Монкур часто тренировался, был назван в честь теннисиста.
За свою карьеру Матье выиграл три 'челленджера' в одиночном разряде – в Дурбане, в Реджо-Эмилии и Тампере.
Матье Монкур умер 6-го июля 2009-го года, причиной смерти стала остановка сердца.