Советский и российский театральный режиссёр, народный артист РСФСР (1982), основатель и художественный руководитель первого контрактного театра страны — тольяттинского драматического театра «Колесо».
Дроздов поступил в ГИТИС на режиссёрский факультет к Андрею Александровичу Гончарову. Свой дипломный спектакль ставил в Нижнем Новгороде.
В 1966 году, после окончания ГИТИСа, год работал главным режиссёром Саратовского цирка.
В 1967—1969 годах работал режиссёром Бакинского театра Русской драмы.
В период с 1969 по 1983 Дроздов главный режиссёр Воронежского академического театра драмы им. А.Кольцова. В 28 лет Глеб Дроздов стал самым молодым главным режиссёром в СССР. Он заведовал кафедрой актёрского мастерства в Воронежском институте искусств.
С 1983 по 1988 год Глеб Дроздов работает главным режиссёром Ярославского академического театра драмы им. Ф.Волкова и параллельно преподаёт актёрское мастерство в Ярославском театральном училище.
В 1988 году создает в Тольятти первый в России контрактный театр «Колесо» и становится его художественным руководителем.
В 1990—1994 годах — руководитель курса студии ГИТИСа при театре «Колесо».
С 1994 года — заведующий кафедрой актёрского мастерства Волжского университета им. В. Н. Татищева.
За годы работы Глебом Борисовичем был поставлен 91 спектакль, 28 из них — в театре «Колесо». Среди спектаклей театра выделялись «Звёзды на утреннем небе» А. Галина и «Я бедный Сосо Джугашвили» В. Коркия (1989), «Женитьба» Н. Гоголя и «Пигмалион» Б. Шоу (1990), «Всей птичке пропасть» (Власть тьмы) Л. Толстого и «Отелло» У. Шекспира (1992), «Опера сумасшедшего» по «Ревизору» Гоголя и «Плутни Скапена» Мольера (1995) и др.
За особые заслуги перед городским сообществом решением Тольяттинской городской Думы от 19 мая 1999 года № 533 Дроздову Глебу Борисовичу было присвоено звание «Почётный гражданин города Тольятти».
Был женат на народной артистке России Наталье Дроздовой.
Глеб Борисович Дроздов умер 16 декабря 2000 года в Тольятти. Похоронен на Баныкинском кладбище Тольятти. После смерти театру «Колесо» было присвоено имя Глеба Дроздова. На здании театра установлена мемориальная доска.