Училась в Музыкальном училище имени Гнесиных на эстрадно-джазовом отделеним, в Российской академии музыки имени Гнесиных на вокальном отделении. Будучи студенткой 5 курса, стала солисткой Большого театра, где пела в 1984—1992 годах.
Родилась в Москве, закончила школу в Новосибирске. Училась в Музыкальном училище имени Гнесиных на эстрадно-джазовом отделеним, в Российской академии музыки имени Гнесиных на вокальном отделении. Будучи студенткой 5 курса, стала солисткой Большого театра, где пела в 1984—1992 годах.
Первая роль — Лаура в опере А. А. Даргомыжского «Каменный гость». Пела также партию Вани в «Жизни за царя» М. И. Глинки.
Опера «Жизнь за царя» была представлена в 1989 году на гастролях Большого театра в миланском театре Ла Скала, и Елена Заремба была высоко оценена итальянской критикой. С этого момента певица получила международное признание.
После ухода из Большого театра в 1992 году выступает в крупнейших театрах мира (Ковент-Гарден, Ла-Скала, Метрополитен-опера, Гамбургская государственная опера, Опера Бастий, Опера Бильбао, Баварская государственная опера). Поёт партии в операх Дж. Верди (Ульрика в «Бал-маскараде», Азучена в «Тру
бадуре»), Р. Вагнера (Эрда в тетралогии «Кольцо нибелунгов»), К. Сен-Санса (Далила в «Самсон и Далила»), М. Мусоргского (Марфа в «Хованщине»), П. Чайковского (Полина в «Пиковой даме», Ольга в «Евгении Онегине»), Ж. Бизе (Кармен).
Заремба участвует в многочисленных аудио- и видеозаписях опер: «Ночь перед Рождеством» Н. А. Римского-Корсакова — партия Солохи (под управлением Михаила Юровского, 1990); «Князь Игорь» А. Бородина — партия Кончаковны (1990); «Жизнь за царя» М. И. Глинки — партия Вани (1992); «Леди Макбет Мценского уезда» Д. Д. Шостаковича — партия Сонетки (1993); «Золото Рейна» Р. Вагнера — партия Эрды (1995); «Бал-маскарад» Дж. Верди — партия Ульрики (1996); «Трубадур» Дж. Верди — партия Азучены; «Евгений Онегин» П. И. Чайковского — партия Ольги (под управлением Валерия Гергиева, Метрополитен-опера, 2008). Принимала также участие в записях «Торжественной мессы» Л. ван Бетховена и киномузыки Д. Д. Шостаковича.