Лауреат премии «За лучший дебют» на фестивале «Созвездие» (2008, за роль в фильме «Исчезнувшая империя»).
Актерское образование Александр Ляпин получил во ВГИКе, на курсе выдающегося мастера Алексея Баталова.
Дебютом молодого актера на киноэкране стала главная роль в драме Карена Шахназарова «Исчезнувшая империя». Исполненная в стиле ностальжи по 70-м годам, картина была лишена излишней романтики, но при этом очень точно передавала дух того времени. Александр Ляпин создал образ первокурсника Сергея Нарбекова, который влюбляется в студентку Люду, но, как часто бывает, сдуру разрушает свое счастье, и уже не может вернуть его обратно… Фильм имел большой успех у зрителей, а Александр был удостоен премии «За лучший дебют» на фестивале
«Созвездие».
А вот следующая картина с участием Александра Ляпина – военная мелодрама режиссера Алексея Козлова «Лейтенат Суворов» (в которой актер исполнил главную роль) оказалась на порядок слабее. Не принесли дивидендов Александру и роли в фильмах «Тридцать седьмой роман» (юноша на мосту) и «Побег» (охранник Шубин).
В 2001 году Александр Ляпин снялся в популярном сериале «Москва. Три вокзала 2» в роли парня по имени Рома.
2007 Исчезнувшая империя
2009 Лейтенант Суворов
2010 Тридцать седьмой роман
2010 Побег - сериал
2011 Москва. Три вокзала 2 - сериал
2011 Айлавью - короткометражны